📐 3D Mensuration — क्षेत्रमिति
Cube • Cuboid / Rectangular Parallelepiped • Cylinder • Cone • Sphere • Hemisphere • Prism • Pyramid
Basic → Intermediate → Advanced Complete Master Notes
📚 Chapter Overview
3D Mensuration में त्रि-आयामी वस्तुओं की माप से संबंधित समस्याओं का अध्ययन किया जाता है। किसी solid object के लिए मुख्य रूप से उसकी Surface Area, Curved Surface Area, Total Surface Area, Volume और Capacity ज्ञात की जाती है।
मुख्य 3D Shapes
घन
घनाभ
बेलन
शंकु
गोला
अर्धगोला
प्रिज्म
पिरामिड
1️⃣ Exam Applicability Map
| Exam Category | Exam | Relevance | Official Evidence | PYQ Evidence | Typical Level | Pattern |
|---|---|---|---|---|---|---|
| SSC | CGL | 🟢 Direct | Official syllabus में 3D Mensuration shapes explicitly listed | Official question-paper archive उपलब्ध | Basic–Advanced | Formula + application + geometry combination |
| SSC | CHSL / अन्य quantitative exams | वर्तमान chapter-specific evidence प्रत्येक परीक्षा के लिए अलग notification से verify करना चाहिए | Exam-specific verification आवश्यक | Basic–Intermediate | Area/Volume/Mensuration type questions संभव | |
| Railway | RRB NTPC | 🟢 Direct | Official syllabus में Mensuration explicitly listed | Official Railway question-paper/response mechanisms उपलब्ध | Basic–Intermediate | Direct formula + calculation |
| Railway | RRB Level-1 / Group-D | 🟢 Direct | Official syllabus में Mensuration listed | Official CBT question/response system उपलब्ध | Basic–Intermediate | Short numerical questions |
| Defence | CDS | 🟢 Direct | Official syllabus में Cuboid, Cone, Cylinder, Sphere के surface area/volume स्पष्ट | UPSC official previous papers उपलब्ध | Intermediate | Formula + geometry + numerical application |
| Defence | NDA | Mathematics syllabus में 3D/analytical geometry है, लेकिन इस page के पूरे mensuration set का समान explicit evidence नहीं माना गया | Official Mathematics papers उपलब्ध | Intermediate–Advanced | Geometry/trigonometry based applications | |
| Banking | IBPS / SBI / अन्य | 🟠 Limited/Indirect | हर notification में chapter-specific Mensuration evidence अलग verify करना चाहिए | इस page पर chapter-specific PYQ को verified नहीं माना गया | Varies | Quantitative aptitude context में institution-specific |
| UPSC CSE | Civil Services Prelims | 🔴 Not Direct | इस chapter का direct Quantitative Aptitude syllabus component नहीं है | Chapter-specific PYQ claim नहीं | — | — |
| Engineering | ESE / SSC JE / RRB JE | Engineering syllabus/post-specific technical context पर निर्भर | Technical paper के अनुसार अलग verification आवश्यक | Advanced | Engineering geometry / applied mathematics | |
| State / Police / Revenue | State Exams | राज्य और भर्ती के अनुसार syllabus बदलता है | State-specific paper verification आवश्यक | Basic–Intermediate | School-level mensuration आधारित प्रश्न संभव |
2️⃣ Basic Concepts
3D Object क्या है?
जिस वस्तु में Length, Breadth और Height जैसी तीन dimensions होती हैं, उसे सामान्यतः 3D solid कहा जाता है।
लंबाई
चौड़ाई
ऊँचाई
त्रिज्या
Surface Area के प्रकार
केवल curved surface का area।
मुख्यतः side/lateral surfaces का area। Prism, Cuboid आदि में इसका उपयोग होता है।
वस्तु की सभी बाहरी surfaces का कुल area।
वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान।
किसी container में भरे जा सकने वाले liquid/material की क्षमता।
Area की unit हमेशा square unit होती है — cm², m² आदि।
Volume की unit हमेशा cubic unit होती है — cm³, m³ आदि।
3️⃣ Important Definitions
4️⃣ Formula Master Sheet
🟣 Cube — घन
LSA = 4a²
TSA = 6a²
Volume = a³
🟣 Cuboid — घनाभ / Rectangular Parallelepiped
LSA = 2h(l+b)
TSA = 2(lb + bh + hl)
Volume = lbh
🟣 Cylinder — बेलन
CSA = 2πrh
TSA = 2πr(h+r)
Volume = πr²h
🟣 Cone — शंकु
l = √(r²+h²)
CSA = πrl
TSA = πr(l+r)
Volume = ⅓πr²h
🟣 Sphere — गोला
Surface Area = 4πr²
Volume = ⁴⁄₃πr³
🟣 Hemisphere — अर्धगोला
TSA = 3πr²
Volume = ⅔πr³
🟣 Prism — प्रिज्म
Base Perimeter = p
Right Prism का LSA = ph
TSA = ph + 2B
Volume = Bh
🟣 Pyramid — पिरामिड
Volume = ⅓Bh
Regular Right Pyramid का LSA = ½pl
TSA = B + ½pl
5️⃣ Shape-Wise Complete Concepts
Cube
Cube में सभी edges बराबर होते हैं। इसके 6 square faces होते हैं।
LSA = 4a², TSA = 6a², V = a³
Cuboid
Cuboid में length, breadth और height अलग-अलग हो सकते हैं। Rectangular box इसका सामान्य उदाहरण है।
Cylinder
Cylinder में दो समान circular bases और एक curved surface होती है।
Cone
Cone में एक circular base और एक curved surface होती है। इसकी curved surface एक vertex पर मिलती है।
यह relation right circular cone के लिए लागू होता है।
Sphere
Sphere में सभी points center से समान दूरी पर होते हैं। Sphere की कोई flat base नहीं होती।
Hemisphere
Hemisphere sphere का आधा भाग है। इसमें curved surface के साथ एक circular flat base भी होती है।
Hemisphere CSA = 2πr²
Hemisphere TSA = 3πr²
अर्थात TSA = CSA + Base Area
Prism
Prism में दो समान और parallel bases होती हैं। General prism का volume: Base Area × Height होता है।
Pyramid
Pyramid में एक base होता है और बाकी triangular faces एक common vertex की ओर मिलती हैं।
6️⃣ Unit Conversion
| Conversion | Value |
|---|---|
| 1 metre | 100 cm |
| 1 cm | 10 mm |
| 1 m² | 10,000 cm² |
| 1 m³ | 1,000,000 cm³ |
| 1 litre | 1000 cm³ |
| 1 mL | 1 cm³ |
| 1 litre | 1000 mL |
1 m² = (100)² cm² = 10,000 cm²
1 m³ = (100)³ cm³ = 10,00,000 cm³
7️⃣ Important Rules & Exam Traps
- CSA और TSA को कभी interchange न करें।
- Volume के लिए cubic units लिखें।
- Surface area के लिए square units लिखें।
- Cone में height और slant height अलग होती हैं।
- Hemisphere का TSA = 3πr² है, 2πr² नहीं।
- Cylinder का CSA = 2πrh है।
- Cylinder का TSA = 2πr(h+r) है।
- Sphere का surface area = 4πr² है।
- Sphere का volume = 4/3πr³ है।
- Diameter दिया हो तो r = d/2 करें।
- Volume और Capacity के conversion में 1 L = 1000 cm³ याद रखें।
- यदि solid को melt करके दूसरे solid में बदला जाए और material loss न हो, तो volume conserved रहता है।
8️⃣ Shortcuts & Tricks
r = d/2 पहले निकालें। Formula में diameter को सीधे radius की जगह न रखें।
यदि edge का ratio a:b है तो volume का ratio a³:b³ होगा।
Radius k गुना होने पर surface area k² गुना और volume k³ गुना होता है।
r और h दोनों को k गुना करने पर volume k³ गुना हो जाता है।
Same base और same perpendicular height वाले pyramid का volume corresponding prism के volume का 1/3 होता है।
9️⃣ Solved Examples
🟢 Example 1 — Cube
एक cube की side 5 cm है। उसका volume कितना होगा?
Correct Answer: C) 125 cm³
Solution:
Concept: Cube Volume
🟢 Example 2 — Cuboid
एक cuboid की लंबाई 10 cm, चौड़ाई 6 cm और ऊँचाई 4 cm है। Volume ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: C) 240 cm³
🟢 Example 3 — Cylinder
एक cylinder की radius 7 cm और height 10 cm है। π = 22/7 लेने पर उसका volume कितना होगा?
Correct Answer: A) 1540 cm³
= 22/7 × 7² × 10
= 22 × 7 × 10
= 1540 cm³
🟡 Example 4 — Cone
एक right circular cone की radius 3 cm और height 4 cm है। उसकी slant height क्या होगी?
Correct Answer: C) 5 cm
= √(3²+4²)
= √25
= 5 cm
🟡 Example 5 — Sphere
एक sphere की radius 3 cm है। उसका surface area ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: C) 36π cm²
🟡 Example 6 — Hemisphere
एक hemisphere की radius 7 cm है। उसका curved surface area π = 22/7 लेने पर कितना होगा?
Correct Answer: B) 308 cm²
= 2 × 22/7 × 49
= 308 cm²
🟡 Example 7 — Hemisphere TSA
Radius 7 cm वाले hemisphere का total surface area ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: B) 462 cm²
= 3 × 22/7 × 49
= 462 cm²
🟠 Example 8 — Cuboid TSA
एक cuboid की l = 8 cm, b = 5 cm और h = 3 cm है। TSA ज्ञात कीजिए।
Correct Answer: B) 158 cm²
= 2(8×5 + 5×3 + 3×8)
= 2(40+15+24)
= 158 cm²
🟠 Example 9 — Capacity
एक cuboidal tank का volume 2 m³ है। उसकी capacity कितने litres होगी?
Correct Answer: C) 2000 L
2 m³ = 2000 L
🔴 Example 10 — Advanced Ratio
दो spheres की radii का अनुपात 2:3 है। उनके volumes का अनुपात क्या होगा?
Correct Answer: C) 8:27
Ratio = 2³ : 3³ = 8 : 27
🔟 PYQ Master Section
इस consolidated page के लिए पर्याप्त chapter-specific original question text, year और shift को एक साथ स्वतंत्र रूप से verify नहीं किया गया है। इसलिए fabricated या reconstructed प्रश्न को वास्तविक PYQ नहीं बनाया गया है।
PYQ Pattern Based Important Questions
एक cylinder की radius और height दी हो तो Volume, CSA और TSA में अंतर पहचानने वाले प्रश्न।
Cube/Cuboid के dimensions बदलने पर volume या surface area के ratio पर आधारित प्रश्न।
Cone में radius, height और slant height के बीच relation पर आधारित प्रश्न।
1️⃣1️⃣ PYQ Pattern Analysis
Official syllabus में 3D shapes explicitly listed हैं। Formula application, surface area, volume और geometry-linked calculation के लिए तैयारी आवश्यक है।
Mensuration official syllabus का हिस्सा है। सामान्यतः direct numerical calculation और standard formulas की पकड़ उपयोगी है।
Official syllabus में cuboid, cone, cylinder और sphere की surface area/volume explicitly दिए गए हैं।
Geometry और 3D analytical geometry से संबंध है, लेकिन इस पूरे chapter को NDA के लिए समान direct mensuration syllabus मानना उचित नहीं है।
1️⃣2️⃣ Practice Questions
Answer: C
Answer: C
Answer: B
Answer: C
Answer: C
Answer: C
Answer: D
Answer: B
Answer: D
Answer: B
Answer: B
Answer: B
Answer: C
Answer: B
Answer: C
1️⃣3️⃣ Detailed Practice Solutions
1️⃣4️⃣ Concept Based Questions
Answer: C
क्योंकि V = πr²h और r constant है, इसलिए V ∝ h.
Answer: C
TSA ∝ a², इसलिए 3² = 9.
Answer: B
1️⃣5️⃣ Advanced Level
🔴 Advanced 1 — Sphere Ratio
दो spheres की radii 3 cm और 6 cm हैं। उनके surface areas का ratio और volumes का ratio बताइए।
Solution:
Volume Ratio = 3³ : 6³ = 27 : 216 = 1 : 8
Surface Area = 1:4, Volume = 1:8
🔴 Advanced 2 — Cube and Cuboid
एक cube की edge 10 cm है। उसका volume कितना होगा? यदि इसी volume वाला cuboid बनाया जाए जिसकी length 20 cm और breadth 5 cm है, तो उसकी height कितनी होगी?
Solution:
Cuboid Volume = lbh
1000 = 20×5×h
1000 = 100h
h = 10 cm
Height = 10 cm
🔴 Advanced 3 — Cone
एक right circular cone में r = 9 cm और h = 12 cm है। Slant height ज्ञात कीजिए।
= √(81+144)
= √225
= 15 cm
Slant Height = 15 cm
🔴 Advanced 4 — Capacity
एक rectangular tank की dimensions 2 m × 1.5 m × 1 m हैं। उसकी capacity litres में ज्ञात कीजिए।
1 m³ = 1000 L
Capacity = 3000 L
Capacity = 3000 L
🔴 Advanced 5 — Hemisphere
एक hemisphere की curved surface area 154 cm² है और π = 22/7। Radius ज्ञात कीजिए।
2×22/7×r² = 154
44r² = 1078
r² = 24.5
अर्थात इस दिए गए numerical combination में radius पूर्णांक नहीं निकलता। इसलिए यदि परीक्षा में integer answer अपेक्षित हो तो question data/options को independently verify करना आवश्यक है।
1️⃣6️⃣ Common Mistakes
✅ सही: CSA = 2πrh.
✅ सही: TSA = 3πr².
✅ सही: l = √(r²+h²).
✅ सही: 1 m³ = 10,00,000 cm³.
✅ सही: Area = cm²; Volume = cm³.
✅ सही: r = d/2.
✅ सही: पहले पूछे गए surface type को पहचानें।
1️⃣7️⃣ Exam-Wise Strategy
SSC Strategy
Railway Strategy
CDS Strategy
NDA Strategy
State/Police/Revenue Exams
1️⃣8️⃣ Quick Revision
TSA=6a²
V=a³
TSA=2(lb+bh+hl)
V=lbh
TSA=2πr(h+r)
V=πr²h
CSA=πrl
V=⅓πr²h
V=⁴⁄₃πr³
TSA=3πr²
V=⅔πr³
Right Prism LSA=ph
TSA=ph+2B
Regular Right Pyramid LSA=½pl
1 m = 100 cm
1 m² = 10,000 cm²
1 m³ = 10,00,000 cm³
1 L = 1000 cm³
1 cm³ = 1 mL
🏆 Final Revision Box
🔥 Golden Rules
- CSA = केवल curved/lateral surface का area।
- TSA = सभी relevant outer surfaces का कुल area।
- Volume = Base Area × Height, जहाँ applicable हो।
- Cone में slant height और perpendicular height अलग होती हैं।
- Hemisphere TSA में circular base शामिल होती है।
- Area में square unit और Volume में cubic unit रखें।
⚡ Top Formula Memory
Cube: 4a², 6a², a³
Cuboid: 2h(l+b), 2(lb+bh+hl), lbh
Cylinder: 2πrh, 2πr(h+r), πr²h
Cone: πrl, πr(l+r), ⅓πr²h
Sphere: 4πr², ⁴⁄₃πr³
Hemisphere: 2πr², 3πr², ⅔πr³
Prism: Bh
Pyramid: ⅓Bh
🎯 Most Important Concepts
- Surface Area vs Volume
- CSA vs TSA
- Cube/Cuboid formulas
- Cylinder formulas
- Cone slant height
- Sphere and Hemisphere
- Prism and Pyramid volume
- Capacity conversion
- Unit conversion
- Ratio and scaling
⚠️ Last Minute Exam Traps
- Diameter को radius न मानें।
- m² और m³ conversion को mix न करें।
- Hemisphere CSA/TSA में confusion न करें।
- Cone में h और l को interchange न करें।
- Question में “open/closed container” दिया हो तो surface selection ध्यान से करें।
- Answer के साथ unit अवश्य check करें।
Shape → Given Data → Required Quantity → Correct Formula → Unit → Verification
📌 Source & Verification Note
इस Notes page में official syllabus claims को उपलब्ध सरकारी/आधिकारिक documents के आधार पर सीमित रखा गया है। SSC CGL के official syllabus में Mensuration के अंतर्गत Right Prism, Right Circular Cone, Right Circular Cylinder, Sphere, Hemispheres, Rectangular Parallelepiped और Regular Right Pyramid दिए गए हैं। RRB की official notification में Mathematics syllabus में Mensuration दिया गया है। CDS के official syllabus में Cuboid, Right Circular Cone, Cylinder और Sphere की surface area/volume सामग्री दी गई है।
किसी specific प्रश्न को वास्तविक PYQ तभी माना जाना चाहिए जब उसका original official paper/shift या विश्वसनीय primary evidence उपलब्ध हो। इस page में unverified प्रश्नों को वास्तविक PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है।