उन्नत बीजगणित — Sets & Functions
Sets, Basic Set Operations, Functions, Domain, Range, Composite Functions, One-One Functions, Onto Functions और Inverse Functions — Basic से Advanced तथा Government Competitive Exam Level तक।
📚 Chapter Overview
01Sets
02Functions
03Domain & Range
04Composite Functions
05One-One / Onto
06Inverse Functions
📋 Table of Contents
1. Chapter Introduction 2. Exam Applicability 3. Basic Set Concepts 4. Functions 5. Domain 6. Range 7. Composite Functions 8. One-One Functions 9. Onto Functions 10. Inverse Functions 11. Formula / Rules / Tricks 12. Solved Examples 13. PYQ Section 14. Exam-wise Pattern Analysis 15. Practice Questions 16. Concept Based Questions 17. Advanced Level 18. Common Mistakes 19. Exam Strategy 20. Quick Revision 21. Final Revision Box 22. Master Memory
1️⃣ Chapter Introduction
Sets और Functions क्या हैं?
Set वस्तुओं/संख्याओं का एक well-defined collection है। उदाहरण के लिए सभी even natural numbers का set: A = {2,4,6,8,...}
Function दो sets के बीच ऐसा relation है जिसमें पहले set के हर element का दूसरे set में exactly one image होता है।
📌 सबसे महत्वपूर्ण विचार: Function में Domain के प्रत्येक input का केवल एक output होना चाहिए। एक input के दो अलग-अलग outputs हों तो वह function नहीं है।
Competitive Exams में उपयोग
- Set notation और basic operations
- Venn-diagram आधारित problems
- Relation और function की पहचान
- Domain और range निकालना
- Composite function
- One-one और onto की जाँच
- Inverse function
- Algebraic transformation और graph interpretation
🔥 Exam Perspective: इस chapter का पूरा “functions + domain + range + composite + one-one + onto + inverse” syllabus विशेष रूप से higher-level Mathematics/defence mathematics curricula में महत्वपूर्ण है। School-level competitive exams में केवल basic algebra/set/function concepts लागू हो सकते हैं।
2️⃣ Exam Applicability
नीचे applicability को official syllabus में उपलब्ध topic wording और exam के Mathematics structure के आधार पर वर्गीकृत किया गया है। जहाँ official syllabus में यह specific chapter स्पष्ट रूप से नहीं मिला, वहाँ उसे अनावश्यक रूप से “High” नहीं बताया गया है।
| Exam / Category | Relevance | Question Pattern | Important Subtopics |
|---|---|---|---|
| UPSC NDA/NA | High / Direct | Objective Mathematics | Functions, domain, range, composite, one-one, onto, inverse |
| UPSC CDS | Exam-specific / Limited evidence for this exact chapter | Elementary Mathematics | Basic algebra and related concepts where notified |
| UPSC ESE / Engineering Mathematics | Generally Relevant | Technical Mathematics | Functions and advanced mathematical concepts |
| UPSC IFoS Mathematics Optional | Relevant | Higher Mathematics | Sets, relations, functions and advanced analysis depending on syllabus |
| SSC CGL | Basic/Indirect | Elementary algebra | School algebra identities and graphs; this exact function unit is not explicitly listed in the cited CGL syllabus |
| RRB NTPC / Level-1 | Basic/Indirect | Elementary Mathematics | Algebra, arithmetic and basic mathematical reasoning |
| Banking | Generally Relevant at basic level | Quantitative Aptitude | Algebraic manipulation; exact function unit varies by notification |
| Defence Mathematics | Varies by examination | Objective Mathematics | Functions/algebra according to notified syllabus |
| Teaching / TGT / PGT / NET | Generally Relevant | Subject Mathematics | Functions, mappings, domain-range, inverse |
| Technical / Engineering Recruitment | Generally Relevant | Technical Mathematics | Functions and mathematical foundations |
| State Competitive Exams | Exam-specific applicability varies | Elementary to advanced | Basic algebra/functions depending on notification |
✅ Verified syllabus note: UPSC NDA/NA Mathematics syllabus explicitly includes “real valued function–domain, range and graph”, “composite functions”, “one to one, onto and inverse functions”. इसलिए इस chapter के लिए NDA/NA की direct applicability स्पष्ट है।
⚠️ Important: SSC CGL जैसे exams में official syllabus का algebra section school algebra identities, elementary surds और linear-equation graphs पर केंद्रित है। इसलिए इस पूरे advanced function unit को CGL का explicitly listed syllabus मानना उचित नहीं है।
3️⃣ Basic Set Concepts
3.1 Set की Definition
Set वस्तुओं का ऐसा collection है जिसके elements clearly defined हों।
उदाहरण:
A = {1,2,3,4,5}
यहाँ 1,2,3,4,5 set A के elements हैं।
A = {1,2,3,4,5}
यहाँ 1,2,3,4,5 set A के elements हैं।
3.2 Representation of Set
- Roster form: A = {1,2,3,4}
- Set-builder form: A = {x : x is a natural number and x < 5}
- Descriptive form: पाँच से छोटी natural numbers का set
3.3 Important Types
| Type | Meaning | Example |
|---|---|---|
| Empty Set | कोई element नहीं | ∅ |
| Singleton Set | एक element | {5} |
| Finite Set | सीमित elements | {1,2,3} |
| Infinite Set | अनंत elements | N = {1,2,3,...} |
| Universal Set | Discussion का पूरा relevant collection | U |
| Subset | A के सभी elements B में हों | A ⊆ B |
3.4 Basic Set Operations
Union: A ∪ B = वे elements जो A या B या दोनों में हों।
Intersection: A ∩ B = common elements।
Difference: A − B = A में हैं लेकिन B में नहीं।
Complement: A′ = Universal set में वे elements जो A में नहीं हैं।
Intersection: A ∩ B = common elements।
Difference: A − B = A में हैं लेकिन B में नहीं।
Complement: A′ = Universal set में वे elements जो A में नहीं हैं।
3.5 Important Laws
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ A ∪ U = U A ∩ U = A A ∪ A = A A ∩ A = A A ∪ A′ = U A ∩ A′ = ∅ (A′)′ = A
De Morgan's Laws:
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
4️⃣ Functions
4.1 Function की मूल अवधारणा
मान लें A और B दो non-empty sets हैं। यदि A के प्रत्येक element को B के exactly one element से associate किया गया है, तो यह mapping A से B एक function है।
f : A → B x ∈ A ⇒ f(x) ∈ B
⚠️ Function बनने की शर्त: एक input के दो अलग-अलग outputs नहीं हो सकते। लेकिन अलग-अलग inputs का एक ही output हो सकता है।
4.2 Domain, Codomain और Range
| Term | Meaning |
|---|---|
| Domain | सभी allowed input values |
| Codomain | जिस set में outputs को रखा गया है |
| Range | वास्तव में प्राप्त होने वाले outputs |
Always: Range ⊆ Codomain
4.3 Function को पहचानना
यदि vertical line graph को अधिकतम एक point पर काटती है, तो graph एक y=f(x) प्रकार का function represent कर सकता है।
🧠 Trick: “एक X → एक Y” = Function.
“एक X → दो Y” = Not a Function.
“एक X → दो Y” = Not a Function.
5️⃣ Domain
किसी function में जिन सभी x-values के लिए function का output वास्तविक/परिभाषित होता है, उनका set उसका Domain है।
5.1 Polynomial Function
f(x) = x² + 3x + 1
Domain = R
Domain = R
5.2 Denominator वाला Function
यदि denominator zero हो जाए तो वह x-value domain से हटेगी।
f(x)=1/(x−2)
x−2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
Domain = R − {2}
f(x)=1/(x−2)
x−2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
Domain = R − {2}
5.3 Square Root
√g(x) के लिए:
g(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
उदाहरण:
f(x)=√(x−3) x−3 ≥ 0 x ≥ 3 Domain = [3,∞)
5.4 Logarithm
log(g(x)) के लिए:
g(x) > 0
g(x) > 0
Base भी valid होना चाहिए: a > 0 तथा a ≠ 1.
5.5 Composite Domain
f(g(x)) के लिए केवल g(x) defined होना पर्याप्त नहीं है। साथ ही g(x) को f के domain में भी होना चाहिए।
⚠️ Common Trap: Composite function का domain निकालते समय inner function की restrictions और outer function की restrictions दोनों जाँचें।
6️⃣ Range
Function द्वारा वास्तव में प्राप्त होने वाली output values का set Range है।
6.1 Direct Method
f(x)=x² For x ∈ R: x² ≥ 0 Therefore: Range = [0,∞)
6.2 Completing Square
f(x)=x²−4x+7 =(x−2)²+3 Since (x−2)² ≥ 0, f(x) ≥ 3 Range = [3,∞)
6.3 Reciprocal Type
f(x)=1/x x ≠ 0 f(x) ≠ 0 Range = R−{0}
6.4 Range using y = f(x)
y=f(x) लिखकर x को y के रूप में solve करें। फिर देखें कि कौन-कौन से y-values possible हैं।
💡 Range Trick: जहाँ quadratic function हो, minimum/maximum value खोजने के लिए completing square बहुत उपयोगी है।
7️⃣ Composite Functions
दो functions f और g दिए हों तो composite function:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
पहले g लगाएँ, फिर f।
पहले g लगाएँ, फिर f।
इसी प्रकार:
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
⚠️ बहुत महत्वपूर्ण: सामान्यतः:
f∘g ≠ g∘f
f∘g ≠ g∘f
Example
f(x)=2x+1 g(x)=x² (f∘g)(x) =f(x²) =2x²+1 (g∘f)(x) =g(2x+1) =(2x+1)² =4x²+4x+1 Therefore: f∘g ≠ g∘f
Composition की Domain
(f∘g)(x) के लिए:
- x, g के domain में हो।
- g(x), f के domain में हो।
8️⃣ One-One Functions
यदि अलग-अलग inputs के outputs भी अलग-अलग हों, तो function one-one (injective) कहलाता है।
यदि f(a)=f(b) ⇒ a=b, तो f one-one है।
Graphical Test
Horizontal line यदि graph को अधिकतम एक point पर काटती है, तो function one-one हो सकता है।
Example
f(x)=2x+3 मानें: f(a)=f(b) 2a+3=2b+3 2a=2b a=b Therefore f is one-one.
Non-example
f(x)=x² f(2)=4 f(−2)=4 लेकिन 2≠−2 Therefore x² on R is not one-one.
✍️ याद रखें: Quadratic function x² पूरे real numbers पर one-one नहीं है, लेकिन restricted domain [0,∞) पर one-one हो सकता है।
9️⃣ Onto Functions
यदि codomain का प्रत्येक element कम-से-कम एक input का image है, तो function onto / surjective कहलाता है।
Range = Codomain ⇒ Onto
Example
f : R → R f(x)=2x+5 For any y∈R: y=2x+5 x=(y−5)/2 यह x real है। Therefore every y has a preimage. Hence f is onto.
Non-example
f : R → R f(x)=x² Range=[0,∞) Codomain=R Range ≠ Codomain Therefore f is not onto.
⚠️ Trap: One-one और onto अलग properties हैं। एक function one-one हो सकता है लेकिन onto नहीं।
🔟 Inverse Functions
यदि function f input और output के बीच relation को uniquely reverse कर सकता है, तो inverse function f⁻¹ define किया जा सकता है।
Inverse के लिए सामान्यतः function को bijective होना चाहिए
Bijective = One-one + Onto
Bijective = One-one + Onto
Inverse निकालने की Method
- y=f(x) लिखें।
- x और y को interchange करें।
- नए equation को y के लिए solve करें।
- y को f⁻¹(x) लिखें।
Example
f(x)=3x−2 y=3x−2 x और y interchange: x=3y−2 x+2=3y y=(x+2)/3 Therefore: f⁻¹(x)=(x+2)/3
Inverse Composition Property
f⁻¹(f(x)) = x
f(f⁻¹(x)) = x
f(f⁻¹(x)) = x
Important Domain-Range Relation
Domain of f⁻¹ = Range of f
Range of f⁻¹ = Domain of f
Range of f⁻¹ = Domain of f
Graphical Property
f और f⁻¹ के graphs line y=x के respect में reflections होते हैं, जब inverse उचित रूप से defined हो।
⚡ Formula / Rules / Tricks
Set:
A∪B = A या B
A∩B = Common elements
A−B = A में लेकिन B में नहीं
(A∪B)′ = A′∩B′
(A∩B)′ = A′∪B′
A∪B = A या B
A∩B = Common elements
A−B = A में लेकिन B में नहीं
(A∪B)′ = A′∩B′
(A∩B)′ = A′∪B′
Function:
f:A→B
हर x∈A का exactly one image।
f:A→B
हर x∈A का exactly one image।
One-One Test:
f(a)=f(b) ⇒ a=b
f(a)=f(b) ⇒ a=b
Onto Test:
Range = Codomain
Range = Codomain
Bijective:
One-One + Onto
One-One + Onto
Composition:
(f∘g)(x)=f(g(x))
(f∘g)(x)=f(g(x))
Inverse:
f⁻¹ exists for a function when an appropriate one-to-one and onto mapping between its domain and codomain is established.
f⁻¹ exists for a function when an appropriate one-to-one and onto mapping between its domain and codomain is established.
🧠 Memory Trick:
OOI: One-One → Onto → Inverse.
पहले uniqueness, फिर पूरा codomain cover, फिर inverse की जाँच।
OOI: One-One → Onto → Inverse.
पहले uniqueness, फिर पूरा codomain cover, फिर inverse की जाँच।
Domain Trick:
Denominator ≠ 0
Square-root expression ≥ 0
Log argument > 0
Denominator ≠ 0
Square-root expression ≥ 0
Log argument > 0
📝 Solved Examples
🟢 BASIC
Example 1 — Domain
Find the domain of f(x)=1/(x−5).
Denominator zero नहीं होना चाहिए:
x−5≠0 ⇒ x≠5
Answer: R−{5}
x−5≠0 ⇒ x≠5
Answer: R−{5}
🟢 BASIC
Example 2 — Range
Find the range of f(x)=x²+1, x∈R.
x²≥0
x²+1≥1
Minimum value = 1
Range = [1,∞)
x²+1≥1
Minimum value = 1
Range = [1,∞)
🟡 MEDIUM
Example 3 — Composition
If f(x)=x+2 and g(x)=3x, find (f∘g)(x).
(f∘g)(x)=f(g(x)) =f(3x) =3x+2
Answer: 3x+2
Answer: 3x+2
🟡 MEDIUM
Example 4 — One-One
Check whether f(x)=5x−7 is one-one on R.
मानें f(a)=f(b):
5a−7=5b−7
5a=5b
a=b
Therefore f is one-one.
5a−7=5b−7
5a=5b
a=b
Therefore f is one-one.
🟠 HARD
Example 5 — Range
Find the range of f(x)=x²−6x+11.
Complete square:
x²−6x+11=(x−3)²+2
(x−3)²≥0
Therefore f(x)≥2.
Range=[2,∞)
x²−6x+11=(x−3)²+2
(x−3)²≥0
Therefore f(x)≥2.
Range=[2,∞)
🔴 ADVANCED
Example 6 — Domain of Composite Function
f(x)=√x और g(x)=x−2 के लिए (f∘g)(x) का domain ज्ञात करें।
(f∘g)(x)=f(x−2)=√(x−2)
Square root के लिए:
x−2≥0
x≥2
Domain=[2,∞)
Square root के लिए:
x−2≥0
x≥2
Domain=[2,∞)
🔴 ADVANCED
Example 7 — Inverse
Find inverse of f(x)=(x−4)/3.
y=(x−4)/3
3y=x−4
x=3y+4
Interchange करके:
f⁻¹(x)=3x+4
3y=x−4
x=3y+4
Interchange करके:
f⁻¹(x)=3x+4
🔥 PYQ Section
PYQ Authenticity Notice: इस chapter के लिए नीचे किसी प्रश्न को “Verified PYQ” के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा रहा है, क्योंकि उपलब्ध official material से प्रत्येक प्रश्न का exact wording, year और shift एक साथ verify किए बिना उसे वास्तविक PYQ कहना उचित नहीं होगा।
PYQ Pattern Based Important Question — NDA/NA Mathematics Pattern
यदि f:R→R, f(x)=2x+3 है, तो f की प्रकृति क्या होगी?
Answer: C
f(a)=f(b) ⇒ 2a+3=2b+3 ⇒ a=b, अतः one-one। और किसी भी y∈R के लिए x=(y−3)/2 real है, अतः onto। इसलिए function bijective है।
PYQ Pattern Based Important Question
f(x)=x² का domain R होने पर क्या f one-one है?
Answer: B
f(2)=4 और f(−2)=4, जबकि 2≠−2। अतः पूरे R पर one-one नहीं है।
🎯 Exam-wise PYQ Pattern Analysis
| Exam | Observed / Officially Documented Scope | Preparation Focus |
|---|---|---|
| UPSC NDA/NA | Official Mathematics syllabus explicitly lists domain, range, composite, one-one, onto and inverse functions. | Definitions + direct algebra + domain/range + composition + inverse |
| UPSC IFoS Mathematics | Higher mathematics syllabus contains advanced mathematical structures; exact applicability depends on the paper/syllabus version. | Higher-level mathematical treatment |
| SSC CGL | Official syllabus explicitly lists school algebra identities, elementary surds and graphs of linear equations; this exact function unit is not explicitly listed there. | Do not treat advanced functions as a guaranteed CGL-specific topic. |
| Railway | Official railway notices commonly list Algebra under Mathematics, but exact function subtopics depend on the particular CEN. | Basic algebra first; verify the relevant CEN before treating advanced functions as required. |
| Banking | Quantitative Aptitude syllabi vary; this exact chapter should not automatically be assumed as a dedicated section. | Focus only when notified or relevant to the specific exam. |
🎯 Practice Questions
🟢 BASIC
Q1. A={1,2,3}, B={3,4,5}. A∩B क्या है?
🟢 BASIC
Q2. f(x)=x+5 का domain क्या है?
🟢 BASIC
Q3. f(x)=√(x−4) का domain क्या है?
🟡 MEDIUM
Q4. f(x)=1/(x+2) का domain क्या है?
🟡 MEDIUM
Q5. f(x)=x²+4 का range क्या है?
🟡 MEDIUM
Q6. f(x)=2x और g(x)=x+1 हों तो (f∘g)(x) क्या होगा?
🟡 MEDIUM
Q7. f(x)=3x−1 किस प्रकार का function R→R है?
🟠 HARD
Q8. f(x)=x²−4x+7 का minimum value क्या है?
🟠 HARD
Q9. f(x)=x², x≥0 पर function one-one है?
🟠 HARD
Q10. f(x)=2x+7 का inverse क्या है?
🔴 ADVANCED
Q11. f(x)=√(x−1) के लिए range क्या है?
🔴 ADVANCED
Q12. यदि f:A→B onto है, तो कौन-सा कथन सही है?
🔴 ADVANCED
Q13. यदि f और g दोनों invertible हैं, तो (f∘g)⁻¹ क्या होगा?
🔴 ADVANCED
Q14. f(x)=1/x का domain और range क्या है?
🔴 ADVANCED
Q15. f(x)=x²−2x+5 की range क्या है?
Answer Key
1-B, 2-A, 3-B, 4-A, 5-B, 6-B, 7-C, 8-B, 9-A, 10-B, 11-B, 12-B, 13-B, 14-B, 15-A
Detailed Solutions
Q1: Common element केवल 3 है। इसलिए A∩B={3}.
Q2: Polynomial x+5 के लिए कोई denominator/radical restriction नहीं है। Domain=R.
Q3: x−4≥0 ⇒ x≥4. इसलिए B.
Q4: x+2≠0 ⇒ x≠−2. इसलिए A.
Q5: x²≥0 ⇒ x²+4≥4. इसलिए [4,∞).
Q6: f(g(x))=2(x+1)=2x+2.
Q7: Linear function with non-zero slope R→R is one-one and onto. इसलिए bijective.
Q8: x²−4x+7=(x−2)²+3. Minimum=3.
Q9: x≥0 पर x² strictly increasing है; अतः one-one.
Q10: y=2x+7 ⇒ x=(y−7)/2 ⇒ f⁻¹(x)=(x−7)/2.
Q11: √(x−1) का output कभी negative नहीं होता। Range=[0,∞).
Q12: Onto में codomain का प्रत्येक element range में आता है। इसलिए Range=Codomain.
Q13: Composition inverse order reverse करता है: (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹.
Q14: x=0 allowed नहीं; output 0 भी कभी नहीं आता। Domain और range दोनों R−{0}.
Q15: x²−2x+5=(x−1)²+4. Minimum=4, इसलिए range [4,∞).
🧠 Concept Based Questions
🟡 MEDIUM
Q16. क्या कोई function one-one और onto दोनों हो सकता है?
Answer: B
🟠 HARD
Q17. f(x)=x² को पूरे R पर inverse क्यों नहीं दिया जा सकता?
Answer: B
🔴 ADVANCED
Q18. यदि किसी function की domain और codomain दोनों R हैं और function one-one तथा onto है, तो उसका inverse किस set से किस set तक होगा?
Answer: A
Concept Check: Inverse केवल equation को उलट देने का नाम नहीं है। Function की injectivity, surjectivity और domain/codomain restrictions भी महत्वपूर्ण हैं।
🔴 Advanced Level
1. Restricted Domain और Inverse
f(x)=x² पूरे R पर one-one नहीं है। लेकिन यदि domain [0,∞) कर दिया जाए, तो function one-one हो जाता है और inverse:
f(x)=x², x≥0 y=x² x=√y f⁻¹(x)=√x
2. Composite Identity
यदि f⁻¹ मौजूद है:
f⁻¹∘f = I
f∘f⁻¹ = I
जहाँ I identity function है।
f⁻¹∘f = I
f∘f⁻¹ = I
जहाँ I identity function है।
3. Composition का One-One Property
यदि f और g दोनों one-one हैं और composition defined है, तो f∘g भी one-one होता है।
4. Composition का Onto Property
यदि f और g दोनों संबंधित domains/codomains के बीच onto हैं, तो उचित mapping conditions के अंतर्गत f∘g onto होता है।
5. Domain में Hidden Restriction
F(x)=√[(x−1)/(x+2)] Required: (x−1)/(x+2) ≥ 0 and x≠−2 Critical points: x=−2, 1 Sign analysis: Domain = (−∞,−2) ∪ [1,∞)
Advanced Trap: Radical के अंदर केवल numerator को ≥0 करना पर्याप्त नहीं है। पूरे expression की non-negative condition जाँचनी होती है।
6. Inverse और Range
यदि f का inverse है तो inverse के लिए:
Domain(f⁻¹)=Range(f)
Range(f⁻¹)=Domain(f)
Domain(f⁻¹)=Range(f)
Range(f⁻¹)=Domain(f)
⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं
❌ गलत: Range और Codomain को हमेशा same मानना।
✅ सही: Range हमेशा Codomain का subset है; onto होने पर दोनों equal होते हैं।
✅ सही: Range हमेशा Codomain का subset है; onto होने पर दोनों equal होते हैं।
❌ गलत: f∘g को g∘f समझना।
✅ सही: f∘g=f(g(x)).
✅ सही: f∘g=f(g(x)).
❌ गलत: x² का पूरे R पर inverse √x लिख देना।
✅ सही: पहले domain restriction और one-one property जाँचें।
✅ सही: पहले domain restriction और one-one property जाँचें।
❌ गलत: √g(x) के लिए g(x)>0 लगाना।
✅ सही: Real square root के लिए g(x)≥0.
✅ सही: Real square root के लिए g(x)≥0.
❌ गलत: log g(x) में g(x)≥0 रखना।
✅ सही: g(x)>0.
✅ सही: g(x)>0.
❌ गलत: denominator zero वाली value को domain में रखना।
✅ सही: denominator ≠0.
✅ सही: denominator ≠0.
🚀 Exam Strategy
Question देखते ही पहले पहचानें
- Set operation है?
- Function की पहचान करनी है?
- Domain restriction है?
- Range निकालनी है?
- Composition है?
- One-one/onto test है?
- Inverse निकालना है?
Fast Approach
Domain: Denominator, Root, Log पहले check करें।
Range: Quadratic हो तो completing square बहुत उपयोगी है।
One-One: f(a)=f(b) ⇒ a=b test करें।
Onto: y=f(x) रखकर हर y के लिए x मिल रहा है या नहीं देखें।
Inverse: y=f(x) → x,y interchange → y solve.
Guessing: Negative marking वाले exam में केवल इस chapter की किसी एक shortcut पर निर्भर रहकर blind guessing न करें। संबंधित परीक्षा की current notification की marking scheme पहले देखें।
⚡ Quick Revision
| Topic | Remember |
|---|---|
| Union | A∪B = A या B |
| Intersection | A∩B = Common |
| Function | Every input → exactly one output |
| Domain | Allowed inputs |
| Range | Actual outputs |
| Codomain | Declared target set |
| One-One | f(a)=f(b) ⇒ a=b |
| Onto | Range=Codomain |
| Bijective | One-One + Onto |
| Composition | (f∘g)(x)=f(g(x)) |
| Inverse | Input-output relationship reversed appropriately |
| Inverse Domain | Range of original function |
| Inverse Range | Domain of original function |
Top 5 Domain Rules:
1. Polynomial → R
2. Denominator → ≠0
3. √g(x) → g(x)≥0
4. log g(x) → g(x)>0
5. Composite → inner output must belong to outer domain
1. Polynomial → R
2. Denominator → ≠0
3. √g(x) → g(x)≥0
4. log g(x) → g(x)>0
5. Composite → inner output must belong to outer domain
🏆 FINAL REVISION BOX
🔥 Most Important Concepts
- Function में प्रत्येक input का exactly one output होता है।
- Range, Codomain का subset है।
- Onto के लिए Range = Codomain.
- One-one के लिए अलग inputs के outputs अलग होने चाहिए।
- Bijective = One-one + Onto.
- Inverse के लिए appropriate bijection आवश्यक है।
- (f∘g)(x)=f(g(x)).
- सामान्यतः f∘g ≠ g∘f.
🔥 Last Minute Tricks
- Denominator कभी zero नहीं।
- Square-root के अंदर ≥0.
- Log argument >0.
- x² की range [0,∞).
- Linear function ax+b, a≠0, R→R पर bijective होता है।
- Inverse निकालने में x और y interchange करें।
- Inverse की domain = original function की range.
⚠️ Last Minute Traps
- Range और codomain को confuse न करें।
- Composition का order न बदलें।
- Restricted domain को ignore न करें।
- One-one और onto को एक ही property न समझें।
- Verified PYQ और pattern-based question में अंतर रखें।
🧠 Master Memory Section
FUNCTION MEMORY CODE: “I-O”
I = Input
O = Output
हर Input का केवल One Output.
I = Input
O = Output
हर Input का केवल One Output.
DOMAIN MEMORY: “DRL”
D = Denominator → zero नहीं
R = Root → अंदर ≥0
L = Log → अंदर >0
D = Denominator → zero नहीं
R = Root → अंदर ≥0
L = Log → अंदर >0
INVERSE MEMORY:
“Domain ↔ Range”
f की Domain ↔ f⁻¹ की Range
f की Range ↔ f⁻¹ की Domain
“Domain ↔ Range”
f की Domain ↔ f⁻¹ की Range
f की Range ↔ f⁻¹ की Domain
Comparison: One-One vs Onto
| Property | One-One | Onto |
|---|---|---|
| मुख्य विचार | दो inputs का output same नहीं | Codomain का कोई element छूटे नहीं |
| Test | f(a)=f(b) ⇒ a=b | Range=Codomain |
| Inverse में महत्व | Necessary for unique inverse | Full codomain coverage के लिए आवश्यक |
| दोनों | One-One + Onto = Bijective | |
Comparison: Domain vs Range vs Codomain
| Term | Question | Meaning |
|---|---|---|
| Domain | Input क्या ले सकते हैं? | Allowed inputs |
| Range | Actual output क्या आया? | Actual outputs |
| Codomain | Output किस set में होना चाहिए? | Target set |
📌 Official syllabus verification note: इस chapter की सबसे स्पष्ट direct applicability UPSC NDA/NA Mathematics में है, जहाँ official syllabus domain, range, composite, one-to-one, onto और inverse functions को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करता है। अन्य examinations के लिए exact applicability संबंधित current notification/syllabus के अनुसार verify करनी चाहिए।
Content classification principle: Accuracy first — verified syllabus claims को direct applicability के रूप में रखा गया है; unverified historical/PYQ claims को real PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है।