Advanced Algebra: Quadratic Equations, Roots & Inequalities

Sarkari Result Education • Mathematics Master Notes

उन्नत बीजगणित — Advanced Algebra

Quadratic Equations • Roots • Relations between Roots & Coefficients • Inequalities • Linear Inequalities

Basic से Advanced स्तर तक Competitive Government Exams के लिए व्यवस्थित Master Notes।

Chapter Overview

इस अध्याय में ऐसे algebraic concepts शामिल हैं जिनमें किसी quadratic polynomial/equation के roots निकालना, roots और coefficients के बीच संबंध बनाना, roots की प्रकृति निर्धारित करना, quadratic expressions के sign को समझना तथा linear और quadratic inequalities को solve करना शामिल है।

Quadratic Equation
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Discriminant
D = b² − 4ac

Root Relations
α + β = −b/a
αβ = c/a

1️⃣ Chapter Introduction

Quadratic Equation क्या है?

ऐसी equation जिसमें variable की highest power 2 होती है, उसे quadratic equation कहते हैं।

ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0

यहाँ a, b, c constants हैं और x variable है।

इस Chapter में क्या सीखेंगे?

Quadratic equation की पहचान।
Factorisation से roots निकालना।
Quadratic Formula से roots निकालना।
Discriminant से roots की nature पता करना।
Roots α और β के बीच relation निकालना।
दिए गए roots से quadratic equation बनाना।
Quadratic expression की inequalities solve करना।
Linear inequalities को number line तथा algebraic method से solve करना।

🔥 Exam Point: Quadratic equations का सबसे महत्वपूर्ण आधार केवल formula याद करना नहीं है। Factorisation, discriminant, roots–coefficients relation और sign analysis को साथ में समझना अधिक उपयोगी है।

2️⃣ Exam Applicability

नीचे की applicability official syllabi में उपलब्ध algebra coverage पर आधारित है। किसी परीक्षा में इस पूरे Chapter के प्रत्येक subtopic का अलग से पूछा जाना अनिवार्य नहीं माना जाना चाहिए।

Exam Category	Exam / Group	Relevance	Question Pattern	मुख्य Subtopics
UPSC Defence	NDA/NA	High / Direct syllabus relevance	Objective Mathematics	Quadratic equations, linear inequations, algebraic applications
UPSC Defence	CDS	High / Direct syllabus relevance	Elementary Mathematics	Quadratic equations, roots-coefficients, simultaneous linear inequations
SSC	SSC CGL	Generally Relevant	Quantitative Aptitude / Mathematical Abilities	School algebra, algebraic identities, elementary algebra
Railway	RRB NTPC	Generally Relevant	Objective Mathematics	Elementary Algebra and related applications
Banking	IBPS PO/MT	Exam-specific applicability varies	Quantitative Aptitude	Algebraic/inequality-based quantitative questions may be relevant
Banking	SBI PO	Exam-specific applicability varies	Quantitative Aptitude / Data Analysis	Algebra and quantitative reasoning may be useful
State / Police	State-level exams	Exam-specific applicability varies	Elementary/Intermediate Mathematics	Depends on notification and syllabus
Technical	Engineering / Technical Exams	Varies by qualification and paper	Technical Mathematics where applicable	Quadratic equations and inequalities as prerequisite concepts
Teaching	TET / Teacher Recruitment	Exam-specific applicability varies	Mathematics / pedagogy-linked questions	Depends on level and notification

Official-syllabus verification: UPSC NDA syllabus explicitly includes quadratic equations and linear inequations. UPSC CDS syllabus explicitly includes solutions of quadratic equations, relation between roots and coefficients, simultaneous linear inequations and practical problems involving these topics. SSC CGL and RRB NTPC official syllabi include school/elementary algebra, but do not establish that every subtopic in this chapter is separately tested. Banking notifications establish quantitative sections, while detailed topic-level applicability can vary by exam and year.

⚠️ Important: “High Relevance” यहाँ केवल उन cases में उपयोग किया गया है जहाँ official syllabus में संबंधित topic स्पष्ट रूप से मिलता है। इसे question frequency या selection probability की ranking न समझें।

3️⃣ Basic Concepts

3.1 Polynomial की Basic समझ

Polynomial वह algebraic expression है जिसमें variable की powers non-negative integers होती हैं।

Example: 3x² + 5x − 7

इसकी highest power 2 है, इसलिए यह quadratic polynomial है।

3.2 Equation और Expression में अंतर

Expression	Equation
2x² + 3x + 1	2x² + 3x + 1 = 0
Equals sign आवश्यक नहीं	Equality relation होती है

3.3 Quadratic Equation की पहचान

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

यदि x² का coefficient zero हो जाए, तो equation quadratic नहीं रहेगी।

🧠 पहचान Trick:
Highest power = 2 ⇒ Quadratic Equation.

4️⃣ Important Definitions

Quadratic Equation

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 के रूप की equation quadratic equation कहलाती है।

Root / Zero

x का वह मान जो equation को satisfy करता है, root कहलाता है।

Discriminant

Quadratic equation ax² + bx + c = 0 के लिए D = b² − 4ac को discriminant कहते हैं।

Inequality

दो expressions के बीच <, >, ≤ या ≥ जैसी relation inequality कहलाती है।

Linear Inequality

ऐसी inequality जिसमें variable की highest power 1 हो।

Coefficient

किसी variable के साथ multiply होने वाला numerical/algebraic factor coefficient कहलाता है।

5️⃣ Quadratic Equations

5.1 Standard Form

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

यहाँ: a = coefficient of x², b = coefficient of x, c = constant term.

5.2 Factorisation Method

यदि quadratic expression को दो linear factors में factor किया जा सके तो factorisation सबसे तेज method हो सकती है।

x² − 5x + 6 = 0
⇒ (x − 2)(x − 3) = 0
⇒ x = 2 या x = 3

Exam Point: यदि product of two factors zero है, तो कम-से-कम एक factor zero होगा।

5.3 Quadratic Formula

x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a

जब factorisation कठिन हो या roots irrational हों, quadratic formula उपयोगी है।

5.4 Completing the Square

Equation को perfect square form में बदलकर solution निकाला जा सकता है।

x² + 6x + 5 = 0
x² + 6x + 9 = 4
(x + 3)² = 4
x + 3 = ±2
x = −1, −5

5.5 Nature of Roots

Discriminant D	Roots की Nature
D > 0	दो distinct real roots
D = 0	दो equal real roots
D < 0	कोई real root नहीं

D = b² − 4ac

जब D = 0:
दोनों roots समान होते हैं और common root = −b/(2a) होता है।

5.6 Equal / Distinct / Real / Non-real Roots

D > 0: real and unequal.
D = 0: real and equal.
D < 0: non-real/complex conjugate roots when coefficients are real.

⚠️ Trap: D = 0 का अर्थ “no root” नहीं है। इसका अर्थ है दो equal real roots।

6️⃣ Roots

6.1 Root क्या बताता है?

यदि x = α equation को satisfy करता है, तो α उसका root है।

f(α) = 0

6.2 Roots निकालने के मुख्य तरीके

Factorisation
Quadratic Formula
Completing the Square
Graphical interpretation

6.3 Sum और Product से Roots पहचानना

यदि roots α और β हैं तो:

α + β = −b/a
αβ = c/a

इससे बिना roots को individually calculate किए कई expressions निकाले जा सकते हैं।

6.4 Roots का Sign

For real roots α, β:

α + β	αβ	Possible sign information
Positive	Positive	दोनों roots positive हो सकते हैं; product positive होने से same sign है और sum positive होने पर दोनों positive।
Negative	Positive	दोनों roots negative।
Any	Negative	Roots opposite signs के होंगे।

सावधानी: केवल product positive देखकर roots को positive न मानें। Sum भी देखना आवश्यक है।

7️⃣ Relations Between Roots and Coefficients

7.1 Fundamental Relations

Quadratic equation:

ax² + bx + c = 0

यदि roots α और β हैं:

α + β = −b/a
αβ = c/a

7.2 Derivation

Quadratic equation को roots के terms में लिखा जा सकता है:

a(x − α)(x − β) = 0

Expand करने पर:

a[x² − (α+β)x + αβ] = 0

ax² − a(α+β)x + aαβ = 0

Compare with:

ax² + bx + c = 0

इसलिए:

−a(α+β) = b
aαβ = c

α+β = −b/a
αβ = c/a

7.3 Roots के expressions

α² + β² = (α+β)² − 2αβ

(α−β)² = (α+β)² − 4αβ

1/α + 1/β = (α+β)/(αβ)

1/αβ = 1/(αβ)

α³ + β³ = (α+β)³ − 3αβ(α+β)

α²β + αβ² = αβ(α+β)

7.4 Given Roots से Equation बनाना

यदि roots α और β दिए हों:

(x − α)(x − β) = 0

या:

x² − (α+β)x + αβ = 0

यदि leading coefficient k चाहिए, तो:

k[x² − (α+β)x + αβ] = 0

8️⃣ Inequalities

8.1 Inequality Symbols

Symbol	Meaning
>	Greater than
<	Less than
≥	Greater than or equal to
≤	Less than or equal to

8.2 Multiplication/Division Rule

सबसे महत्वपूर्ण नियम:
यदि inequality को positive number से multiply/divide करें, sign नहीं बदलता।

यदि negative number से multiply/divide करें, inequality sign reverse हो जाता है।

−2x > 6
x < −3

8.3 Quadratic Inequality

उदाहरण:

x² − 5x + 6 > 0

पहले factorise करें:

(x−2)(x−3) > 0

Critical points: 2 और 3.

Interval	Sign
x < 2	+
2 < x < 3	−
x > 3	+

Solution: x < 2 या x > 3

Sign Method: Distinct linear factors के roots के आसपास sign सामान्यतः alternate करता है, लेकिन अंतिम answer लिखने से पहले किसी test point से sign verify करना सुरक्षित है।

9️⃣ Linear Inequalities

9.1 One Variable

3x + 5 > 14
3x > 9
x > 3

9.2 Negative Coefficient

−4x ≤ 20
x ≥ −5

⚠️ Trap: Negative number से divide करते समय sign reverse करना अनिवार्य है।

9.3 Two Variables

Linear inequality:

ax + by ≤ c

इसका graphical solution एक half-plane को represent कर सकता है। Boundary inclusion inequality के sign पर निर्भर करती है।

Condition	Boundary
≤ या ≥	Boundary included
< या >	Boundary excluded

9.4 Simultaneous Linear Inequalities

कई inequalities को एक साथ satisfy करने वाले values का common region solution set होता है।

x > 2
x ≤ 7

इसलिए:
2 < x ≤ 7

⚡ Formula / Rules / Tricks

Quadratic Formula

x = (−b ± √(b²−4ac))/2a

Discriminant

D = b² − 4ac

Sum of Roots

α + β = −b/a

Product of Roots

αβ = c/a

Square Sum

α²+β²=(α+β)²−2αβ

Difference of Roots

(α−β)²=(α+β)²−4αβ

Reciprocal Sum

1/α + 1/β = (α+β)/(αβ)

Cubic Sum

α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)

🧠 Fast Decision Rules

Trick 1: पहले देखें factorisation आसान है या नहीं। आसान हो तो formula लगाने में समय न लगाएं।

Trick 2: Roots का sum/product चाहिए तो roots निकालने की आवश्यकता नहीं—direct coefficient relation इस्तेमाल करें।

Trick 3: Root की nature पूछी गई हो तो पूरा quadratic formula calculate करने के बजाय D देखें।

Trick 4: Inequality में negative से multiplication/division होने पर sign जरूर reverse करें।

Trick 5: Quadratic inequality में पहले critical points निकालें, फिर intervals में sign check करें।

📝 10️⃣ Solved Examples

🟢 BASIC

Example 1: Factorisation

Question: x² − 7x + 12 = 0 के roots ज्ञात कीजिए।

A) 2, 6

B) 3, 4

C) −3, −4

D) 1, 12

Correct Answer: B) 3, 4

x² − 7x + 12 = 0
⇒ (x−3)(x−4)=0
⇒ x=3 या x=4

Concept Used: Factorisation

🟡 MEDIUM

Example 2: Discriminant

Question: 2x² + 4x + 2 = 0 की roots की nature क्या है?

A) दो distinct real roots

B) दो equal real roots

C) कोई real root नहीं

D) एक positive और एक negative root

Correct Answer: B) दो equal real roots

D = b²−4ac
= 4²−4(2)(2)
= 16−16
= 0
अतः roots real और equal हैं।

🟡 MEDIUM

Example 3: Roots और Coefficients

यदि 3x²−11x+6=0 की roots α और β हैं, तो α+β तथा αβ ज्ञात करें।

Correct Answer: α+β = 11/3, αβ = 2

यहाँ a=3, b=−11, c=6.
α+β=−b/a=11/3
αβ=c/a=6/3=2

🟠 HARD

Example 4: α² + β²

यदि α और β, 2x²−5x+2=0 की roots हैं, तो α²+β² ज्ञात करें।

Correct Answer: 17/4

α+β = 5/2
αβ = 1

α²+β²=(α+β)²−2αβ
=(5/2)²−2
=25/4−8/4
=17/4

🔴 ADVANCED

Example 5: Quadratic Inequality

Solve: x²−5x+6 > 0

Correct Answer: x<2 या x>3

x²−5x+6=(x−2)(x−3)
Critical points: 2, 3
Product positive होने के लिए दोनों factors same sign होने चाहिए।
इसलिए x<2 या x>3.

x=2 और x=3 strict inequality में शामिल नहीं होंगे।

🔴 ADVANCED

Example 6: Parameter Condition

Equation x²−6x+k=0 के दो distinct real roots होने के लिए k की condition क्या होगी?

Correct Answer: k < 9

Distinct real roots के लिए:
D>0
(−6)²−4(1)(k)>0
36−4k>0
9−k>0
इसलिए k<9.

🔥 12️⃣ PYQ Section

PYQ Authenticity Notice: इस chapter के लिए इस page में किसी प्रश्न को “Verified Real PYQ” के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा रहा है जब तक Exam + Year + Paper/Shift + विश्वसनीय source से उसकी पुष्टि उपलब्ध न हो। नीचे दिए गए प्रश्न PYQ Pattern Based Important Questions हैं, वास्तविक PYQ नहीं।

PYQ Pattern Based Important Question — 1

यदि x²−8x+15=0 की roots α, β हैं, तो α+β का मान क्या है?

A) 5

B) 8

C) 15

D) −8

Answer: B) 8

Explanation: α+β=−b/a=−(−8)/1=8.

PYQ Pattern Based Important Question — 2

यदि x²−4x+4=0 है, तो roots की nature क्या होगी?

A) Real and unequal

B) Real and equal

C) Non-real

D) Opposite signs

Answer: B) Real and equal

Explanation: D=16−16=0.

PYQ Pattern Based Important Question — 3

यदि x²−7x+10=0 के roots α, β हैं, तो αβ का मान क्या है?

A) −10

B) 7

C) 10

D) −7

Answer: C) 10

Explanation: αβ=c/a=10.

🎯 13️⃣ Exam-wise PYQ Pattern Analysis

Exam	Verified syllabus-level observation	Preparation Focus
UPSC NDA/NA	Official syllabus explicitly mentions quadratic equations with real coefficients and linear inequations of two variables by graphs.	Concept + equation solving + inequalities + application
UPSC CDS	Official syllabus explicitly mentions solutions of quadratic equations, roots-coefficients relation and simultaneous linear inequations.	Roots, coefficients, equations and inequalities
SSC CGL	Official syllabus includes school algebra/basic algebraic identities and elementary surds; this does not by itself establish separate frequency for every quadratic subtopic.	School-level algebra fundamentals
RRB NTPC	Official syllabus includes Elementary Algebra.	Elementary algebra concepts
IBPS PO	Official notification establishes Quantitative Aptitude as an exam component; exact topic-level frequency can vary.	Quantitative aptitude and algebraic problem solving
SBI PO	Official SBI recruitment information establishes Quantitative Aptitude/Data Analysis components; exact subtopic frequency is not fixed here.	Quantitative problem solving

Research rule: बिना पर्याप्त official question-paper dataset के “यह topic हर साल इतने questions देता है” जैसी frequency claim नहीं की गई है।

🎯 14️⃣ Practice Questions

🟢 BASIC

Q1. x²−9x+20=0 के roots हैं:

A) 2,10

B) 4,5

C) −4,−5

D) 1,20

🟢 BASIC

Q2. x²−6x+9=0 की roots की nature है:

A) Unequal real

B) Equal real

C) Non-real

D) No solution

🟡 MEDIUM

Q3. 2x²+7x+3=0 की roots α,β हैं। α+β = ?

A) 7/2

B) −7/2

C) 3/2

D) −3/2

🟡 MEDIUM

Q4. 3x²−10x+2=0 की roots α,β हैं। αβ = ?

A) 2/3

B) −2/3

C) 3/2

D) −3/2

🟠 HARD

Q5. यदि α+β=7 और αβ=10, तो α²+β² = ?

A) 19

B) 29

C) 39

D) 49

🟠 HARD

Q6. x²−7x+10 < 0 का solution है:

A) x<2

B) x>5

C) 2<x<5

D) x<2 या x>5

🔴 ADVANCED

Q7. x²−2(k+1)x+k²=0 के equal roots होने के लिए k का मान ज्ञात करें।

A) 1

B) −1/2

C) −1

D) 1/2

🔴 ADVANCED

Q8. −3x+12 > 0 का solution है:

A) x>4

B) x<4

C) x≥4

D) x≤4

Answer Key

Q1 — B
Q2 — B
Q3 — B
Q4 — A
Q5 — A
Q6 — C
Q7 — B
Q8 — B

Detailed Solutions

Q1: x²−9x+20=(x−4)(x−5), इसलिए roots 4,5.

Q2: D=36−36=0, इसलिए equal real roots.

Q3: α+β=−b/a=−7/2.

Q4: αβ=c/a=2/3.

Q5: α²+β²=(α+β)²−2αβ=49−20=29.

Q6: (x−2)(x−5)<0, इसलिए roots के बीच: 2<x<5.

Q7: D=[−2(k+1)]²−4k²=4(k+1)²−4k²=4(2k+1). Equal roots के लिए D=0 ⇒ k=−1/2.

Q8: −3x+12>0 ⇒ −3x>−12. Negative से divide करने पर sign reverse: x<4.

🧠 15️⃣ Concept Based Questions

Q1. Why?

Quadratic equation में D = 0 होने पर roots equal क्यों होते हैं?

Quadratic formula में ±√D term होती है। D=0 होने पर √D=0 हो जाता है, इसलिए plus और minus दोनों cases में एक ही root मिलता है।

Q2. Statement Based

कथन: यदि αβ<0 है और α,β real हैं, तो roots opposite signs के होंगे।

सही। दो real numbers का product negative तभी होगा जब उनके signs opposite हों।

Q3. Concept Trap

क्या α+β positive होने का अर्थ हमेशा दोनों roots positive होना है?

नहीं। Product भी देखना होगा। उदाहरण: α=5, β=−2 ⇒ sum=3 positive, लेकिन एक root negative है।

Q4. Application

यदि किसी quadratic equation के roots α और β हैं और α+β तथा αβ ज्ञात हैं, तो क्या roots individually निकाले बिना α²+β² निकाला जा सकता है?

हाँ। α²+β²=(α+β)²−2αβ.

🔴 16️⃣ Advanced Level

16.1 Parameter और Root Nature

जब quadratic equation में parameter हो, तो roots की nature जानने के लिए discriminant सबसे उपयोगी tool है।

ax²+bx+c=0
Distinct real roots ⇒ D>0
Equal real roots ⇒ D=0
No real roots ⇒ D<0

16.2 Roots के बीच Distance

(α−β)²=(α+β)²−4αβ

और:

α−β = ±√[(α+β)²−4αβ]

16.3 Equation with Reciprocal Roots

यदि roots α और β हैं तथा αβ=1, तो:

c/a = 1
⇒ c=a

16.4 Opposite Roots

यदि roots α और −α हैं, तो उनका sum zero होगा।

α+(−α)=0
⇒ −b/a=0
⇒ b=0

16.5 Quadratic Inequality — Complete Sign Analysis

मान लें:

f(x)=a(x−α)(x−β), α<β

यदि a>0:

f(x)>0 ⇒ x<α या x>β
f(x)<0 ⇒ α<x<β

यदि a<0 तो signs reverse होंगे:

f(x)>0 ⇒ α<x<β
f(x)<0 ⇒ x<α या x>β

Strict inequality (<, >) में roots include नहीं होते। Non-strict inequality (≤, ≥) में roots include होते हैं, यदि वे defined हों।

⚠️ 17️⃣ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं

❌ गलत: D=0 ⇒ no real roots.

✅ सही: D=0 ⇒ two equal real roots.

❌ गलत: α+β=b/a.

✅ सही: α+β=−b/a.

❌ गलत: αβ=−c/a.

✅ सही: αβ=c/a.

❌ गलत: Negative number से divide करने पर inequality sign same रहेगा।

✅ सही: Sign reverse होगा।

❌ गलत: Quadratic inequality में केवल roots निकालना पर्याप्त है।

✅ सही: Critical points के intervals में sign analysis करें।

❌ गलत: Product positive ⇒ दोनों roots positive.

✅ सही: Product positive ⇒ same sign; sum देखकर sign तय करें।

🚀 18️⃣ Exam Strategy

Question देखते ही Approach

Equation identify करें: quadratic है या linear?
Factorisation देखें: आसान factors दिख रहे हों तो direct factorise करें।
Roots की nature चाहिए? D calculate करें।
Sum/product चाहिए? roots calculate न करके coefficient relation इस्तेमाल करें।
Inequality है? sign reversal और interval analysis पर ध्यान दें।
Parameter है? D की condition बनाएं।
Options दिए हैं? जरूरत होने पर option verification/elimination करें।

Time-saving principle: हर question पर quadratic formula लगाना जरूरी नहीं है। Formula, factorisation और coefficient relation में से सबसे छोटा verified method चुनें।

Revision Strategy

पहले standard form और discriminant मजबूत करें।
फिर roots–coefficients relations याद करें।
फिर expressions जैसे α²+β² और α³+β³ practice करें।
अंत में inequalities और parameter questions करें।

Guessing: Mathematical question में केवल option देखकर blind guess न करें। Calculation या logical elimination से answer verify करें।

⚡ 19️⃣ Quick Revision

Quadratic

ax²+bx+c=0

a ≠ 0

Discriminant

D=b²−4ac

D>0 unequal, D=0 equal, D<0 non-real.

Roots

α+β=−b/a
αβ=c/a

Square Sum

α²+β²=(α+β)²−2αβ

Difference

(α−β)²=(α+β)²−4αβ

Inequality

Negative से multiply/divide ⇒ sign reverse.

Quadratic Inequality

Critical points → intervals → sign test → solution.

Equation from Roots

x²−(α+β)x+αβ=0

Cubic Sum

α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)

🧠 21️⃣ Master Memory Section

Memory Code — “SUM PRODUCT”

Quadratic equation:

ax² + bx + c = 0

SUM → −b/a
PRODUCT → c/a

Discriminant Memory

D = b²−4ac

D positive → दो real अलग
D zero → दोनों same
D negative → real roots नहीं

Inequality Memory

Negative से divide/multiply → SIGN FLIP

Quadratic Inequality Memory

FACTOR → ROOTS → INTERVALS → SIGN → ANSWER

📊 Comparison Tables

Quadratic Equation vs Quadratic Inequality

Feature	Equation	Inequality
Symbol	=	<, >, ≤, ≥
Typical Goal	Roots find करना	Solution interval/region find करना
Main Tool	Factorisation / Formula / D	Critical points + Sign analysis

D और Roots की Nature

D	Roots	Graph interpretation
D>0	Two distinct real	x-axis को दो points पर intersect/cut कर सकता है
D=0	Equal real	x-axis को एक repeated root पर touch कर सकता है
D<0	No real roots	x-axis को real point पर intersect नहीं करता

🏆 FINAL REVISION BOX

🔥 Most Important Concepts

Standard quadratic form: ax²+bx+c=0.
Quadratic Formula: x=(−b±√D)/2a.
Discriminant: D=b²−4ac.
D>0 → distinct real roots.
D=0 → equal real roots.
D<0 → no real roots.
α+β=−b/a.
αβ=c/a.
α²+β²=(α+β)²−2αβ.
(α−β)²=(α+β)²−4αβ.
Equation from roots: x²−(α+β)x+αβ=0.
Negative number से inequality multiply/divide करने पर sign reverse होता है।
Quadratic inequality में critical points के intervals का sign check करें।

⚠️ Last Minute Traps

D=0 को no root न समझें।
Sum of roots में negative sign न भूलें।
Product of roots में c/a लें।
Strict inequality में boundary roots शामिल नहीं होते।
Non-strict inequality में valid boundary roots शामिल हो सकते हैं।
Negative divisor के कारण inequality sign reverse करें।

🎯 One-Line Master Formula

ax²+bx+c=0 ⇒ D=b²−4ac, α+β=−b/a, αβ=c/a

🔍 Source Verification Note

इस Chapter की exam-applicability research में official examination authorities को प्राथमिकता दी गई है। विशेष रूप से UPSC NDA/NA और CDS के official syllabi में quadratic equations, roots-coefficients तथा linear inequations से संबंधित विषय स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं। SSC CGL और RRB NTPC के official syllabi में algebra/elementary algebra coverage उपलब्ध है। Banking exams में quantitative sections official notifications में दिए जाते हैं; exact topic-wise frequency को fixed नहीं माना गया है।

Official Sources for further verification:
UPSC NDA/NA syllabus
UPSC CDS syllabus
SSC CGL syllabus
RRB NTPC official notification
IBPS official notification

PYQ Rule: इस page पर केवल pattern-based questions दिए गए हैं। किसी प्रश्न को real PYQ तभी label किया जाना चाहिए जब उसके Exam, Year, Paper/Shift और reliable source की पुष्टि उपलब्ध हो।

Sarkari Result Education — Advanced Algebra Master Notes

Accuracy → Concept → Practice → Revision

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Advanced Algebra: Quadratic Equations, Roots & Inequalities

उन्नत बीजगणित — Advanced Algebra

Chapter Overview

📋 Table of Contents

1️⃣ Chapter Introduction

Quadratic Equation क्या है?

इस Chapter में क्या सीखेंगे?

2️⃣ Exam Applicability

3️⃣ Basic Concepts

3.1 Polynomial की Basic समझ

3.2 Equation और Expression में अंतर

3.3 Quadratic Equation की पहचान

4️⃣ Important Definitions

Quadratic Equation

Root / Zero

Discriminant

Inequality

Linear Inequality

Coefficient

5️⃣ Quadratic Equations

5.1 Standard Form

5.2 Factorisation Method

5.3 Quadratic Formula

5.4 Completing the Square

5.5 Nature of Roots

5.6 Equal / Distinct / Real / Non-real Roots

6️⃣ Roots

6.1 Root क्या बताता है?

6.2 Roots निकालने के मुख्य तरीके

6.3 Sum और Product से Roots पहचानना

6.4 Roots का Sign

7️⃣ Relations Between Roots and Coefficients

7.1 Fundamental Relations

7.2 Derivation

7.3 Roots के expressions

7.4 Given Roots से Equation बनाना

8️⃣ Inequalities

8.1 Inequality Symbols

8.2 Multiplication/Division Rule

8.3 Quadratic Inequality

9️⃣ Linear Inequalities

9.1 One Variable

9.2 Negative Coefficient

9.3 Two Variables

9.4 Simultaneous Linear Inequalities

⚡ Formula / Rules / Tricks

Quadratic Formula

Discriminant

Sum of Roots

Product of Roots

Square Sum

Difference of Roots

Reciprocal Sum

Cubic Sum

🧠 Fast Decision Rules

📝 10️⃣ Solved Examples

Example 1: Factorisation

Example 2: Discriminant

Example 3: Roots और Coefficients

Example 4: α² + β²

Example 5: Quadratic Inequality

Example 6: Parameter Condition

🔥 12️⃣ PYQ Section

🎯 13️⃣ Exam-wise PYQ Pattern Analysis

🎯 14️⃣ Practice Questions

Answer Key

Detailed Solutions

🧠 15️⃣ Concept Based Questions

Q1. Why?

Q2. Statement Based

Q3. Concept Trap

Q4. Application

🔴 16️⃣ Advanced Level

16.1 Parameter और Root Nature

16.2 Roots के बीच Distance

16.3 Equation with Reciprocal Roots

16.4 Opposite Roots

16.5 Quadratic Inequality — Complete Sign Analysis

⚠️ 17️⃣ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं

🚀 18️⃣ Exam Strategy