वृत्त (Circle) — Complete Master Notes
Table of Contents
1. Chapter Overview
समतल में किसी निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय वृत्त कहलाता है। निश्चित बिंदु को केंद्र (Centre) और समान दूरी को त्रिज्या (Radius) कहते हैं।
मुख्य भाग
- केंद्र (Centre)
- त्रिज्या (Radius)
- व्यास (Diameter)
- जीवा (Chord)
- चाप (Arc)
- वृत्तखंड (Sector)
- खंड (Segment)
- स्पर्शरेखा (Tangent)
- छेदक (Secant)
मुख्य Angle Properties
- केंद्र पर बना कोण
- जीवा द्वारा केंद्र पर बना कोण
- जीवा द्वारा परिधि पर बना कोण
- अर्धवृत्त का कोण
- एक ही Segment के कोण
- चक्रीय चतुर्भुज
- स्पर्शरेखा और जीवा का कोण
SSC के आधिकारिक CGL syllabus में Circle तथा उसके chords, tangents, chords द्वारा subtended angles और common tangents का स्पष्ट उल्लेख है। RRB के आधिकारिक syllabus में Geometry शामिल है। इसलिए Circle सरकारी भर्ती परीक्षाओं के गणित/Geometry भाग का महत्वपूर्ण विषय है।
2. EXAM APPLICABILITY MAP
| Exam Category | Exam / Group | Relevance | Official Evidence | PYQ Evidence Status | Typical Level | Typical Pattern |
|---|---|---|---|---|---|---|
| SSC | CGL | 🟢 Direct | Circle, chords, tangents, chord-subtended angles और common tangents syllabus में स्पष्ट | Individual PYQ को paper/shift से अलग सत्यापित करना आवश्यक | Basic–Moderate | Angle, chord, tangent, circle geometry, mensuration |
| Railway | NTPC | 🟢 Direct/Subject-level | Official syllabus में Geometry | Specific PYQ का exact paper/shift verification आवश्यक | Basic–Moderate | Geometry तथा Mensuration आधारित objective questions |
| Railway | अन्य Level-1/तकनीकी recruitment | 🟡 Related | Recruitment-specific syllabus अलग हो सकता है | Notification/paper के अनुसार verify करें | Basic–Moderate | Geometry/Mensuration जहाँ syllabus में हो |
| UPSC | NDA/NA | 🟡 Related | Mathematics में analytical geometry में circle की equation स्पष्ट रूप से दी गई है | Official previous papers उपलब्ध हैं; exact question को paper से verify करना चाहिए | Intermediate–Advanced | Coordinate/analytical geometry अधिक महत्वपूर्ण |
| UPSC | CDS | 🟡 Related | Exam-specific current notification/syllabus से विषय verify करें | Exact PYQ verification आवश्यक | Basic–Moderate | Elementary Mathematics में Geometry/Mensuration context |
| Banking | IBPS/SBI आदि | 🟠 Limited/Exam-specific | Recruitment-specific notification को प्राथमिक स्रोत मानें | Exact exam/PYQ verification आवश्यक | Basic–Moderate | Quantitative aptitude में geometry/mensuration जहाँ लागू हो |
| Insurance | LIC/NIACL/UIIC आदि | 🟠 Exam-specific | प्रत्येक notification अलग verify करें | Exact paper के बिना PYQ claim नहीं | Basic–Moderate | Quantitative aptitude pattern पर निर्भर |
| State/Police/Teaching | State-specific examinations | 🟡 Related | State notification/syllabus के अनुसार | Recruitment-specific verification | Basic–Moderate | Elementary Geometry/Mensuration |
ऊपर किसी exam को केवल इसलिए Direct नहीं माना गया है कि सामान्यतः वहाँ Maths आता है। Direct classification का आधार उपलब्ध syllabus evidence है। किसी specific State/PSU/departmental exam के लिए उसके अपने notification को अंतिम authority माना जाएगा।
3. BASIC CONCEPTS
3.1 केंद्र (Centre)
वृत्त के अंदर वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त की प्रत्येक बिंदु की दूरी समान होती है, केंद्र कहलाता है।
3.2 त्रिज्या (Radius)
केंद्र से वृत्त की परिधि के किसी बिंदु तक की दूरी त्रिज्या कहलाती है।
यदि केंद्र O और परिधि पर A है, तो OA = r.
3.3 व्यास (Diameter)
वह जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है, व्यास कहलाती है।
3.4 जीवा (Chord)
वृत्त की परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है। व्यास सबसे बड़ी जीवा है।
3.5 चाप (Arc)
वृत्त की परिधि के दो बिंदुओं के बीच का भाग चाप कहलाता है।
- छोटा चाप — Minor Arc
- बड़ा चाप — Major Arc
- 180° का चाप — Semicircle
3.6 Sector
दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र Sector कहलाता है।
3.7 Segment
एक जीवा और उसके संबंधित चाप से घिरा क्षेत्र Segment कहलाता है।
3.8 Tangent
वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, स्पर्शरेखा (Tangent) कहलाती है। स्पर्श बिंदु Point of Contact कहलाता है।
3.9 Secant
वह रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, छेदक (Secant) कहलाती है।
4. IMPORTANT DEFINITIONS
5. COMPLETE CONCEPTS
5.1 Radius और Diameter का संबंध
याद रखें: Diameter = 2 × Radius
इसलिए diameter हमेशा radius का दुगुना होता है।
5.2 Equal Radii
एक ही वृत्त की सभी radii बराबर होती हैं। यदि OA और OB उसी circle की radii हैं, तो OA = OB.
5.3 Diameter सबसे बड़ी Chord है
किसी वृत्त में center से गुजरने वाली chord की लंबाई अधिकतम होती है। अतः diameter maximum chord है।
5.4 Center से Chord पर Perpendicular
यदि केंद्र से किसी chord पर perpendicular खींचा जाता है, तो वह chord को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
यदि OM ⟂ AB, तो AM = MB.
5.5 Converse
यदि केंद्र से chord के midpoint को जोड़ने वाला line segment chord पर खींचा गया है, तो वह chord पर perpendicular होता है।
5.6 Equal Chords
एक ही वृत्त में equal chords केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
5.7 Equal Chords और Equal Arcs
एक ही वृत्त में equal chords corresponding equal arcs subtend करती हैं और उनके द्वारा केंद्र पर बने angles भी बराबर होते हैं।
5.8 Central Angle
केंद्र पर किसी chord द्वारा बनाया गया angle उसी chord के arc को subtend करता है।
जब दोनों angles उसी arc/chord को subtend कर रहे हों।
5.9 Angle at Centre और Angle at Circumference
किसी arc द्वारा केंद्र पर बना angle उसी arc द्वारा circumference पर बने angle का दुगुना होता है।
5.10 Angle in a Semicircle
Diameter द्वारा circumference के किसी point पर बनाया गया angle 90° होता है।
इसे Thales' theorem के रूप में जाना जाता है।
5.11 Angles in the Same Segment
एक ही chord द्वारा एक ही segment में circumference पर बनाए गए angles बराबर होते हैं।
5.12 Cyclic Quadrilateral
जिस quadrilateral के चारों vertices एक ही circle पर स्थित हों, उसे cyclic quadrilateral कहते हैं।
5.13 Exterior Angle of Cyclic Quadrilateral
किसी cyclic quadrilateral का exterior angle, उसके opposite interior angle के बराबर होता है।
5.14 Tangent और Radius
मुख्य नियम: Point of contact पर tangent और radius परस्पर perpendicular होते हैं।
यदि OT radius है और PT tangent है, तो OT ⟂ PT तथा ∠OTP = 90°.
5.15 Tangents from an External Point
एक external point से circle पर खींची गई दोनों tangents की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
5.16 Tangent-Secant Concept
यदि external point P से एक tangent और एक secant circle को काटते हैं, तो power of point का संबंध उपयोग किया जा सकता है।
जहाँ PT tangent length है और secant पर A निकटतम तथा B दूरस्थ intersection points हैं।
5.17 Two Secants from External Point
एक ही external point से खींची गई दो secants के लिए।
5.18 Two Chords Intersecting Inside Circle
यदि दो chords अंदर एक point P पर intersect करती हैं और endpoints क्रमशः A,B तथा C,D हैं।
5.19 Tangent-Chord Theorem
किसी point of contact पर tangent और chord के बीच का angle, उस chord द्वारा opposite arc में subtended angle के बराबर होता है।
5.20 Arc और Angle
Arc की angular measure को corresponding central angle से व्यक्त किया जा सकता है।
- Full circle = 360°
- Semicircle = 180°
- Quarter circle = 90°
5.21 Sector का क्षेत्रफल
यदि central angle θ° है, तो sector का area पूरे circle के θ/360 भाग के बराबर होता है।
5.22 Arc Length
Arc length भी पूरे circumference के θ/360 भाग के बराबर होता है।
6. IMPORTANT RULES
“Tangent circle को एक point पर touch करती है” का अर्थ यह नहीं कि tangent circle के अंदर नहीं जा सकती। Standard Euclidean definition में tangent का circle के साथ एक common point होता है। Secant के दो common points होते हैं।
7. FORMULA SECTION
7.1 Diameter
Use: Radius से diameter या diameter से radius निकालने में।
7.2 Circumference
Use: Circle की boundary की लंबाई।
7.3 Area of Circle
Use: पूरे circle का area.
7.4 Arc Length
θ = central angle.
7.5 Sector Area
7.6 Perimeter of Sector
7.7 Tangent-Secant
7.8 Two Secants
7.9 Intersecting Chords
7.10 Circle Equation — Coordinate Geometry
Centre = (h,k), Radius = r.
7.11 Standard Circle at Origin
7.12 General Circle Equation
यदि प्रश्न में π का मान दिया हो तो वही लें। अन्यथा परीक्षा में आवश्यकता के अनुसार π = 22/7 या 3.14 का उपयोग किया जा सकता है। प्रश्न की संख्या/विकल्प देखकर approximation न करें यदि exact calculation अपेक्षित हो।
8. SHORTCUTS & TRICKS
⚡ Trick 1 — Diameter दिखे तो 90° याद करें
यदि triangle का एक side circle का diameter है और तीसरा vertex circle पर है, तो उस vertex का angle 90° होगा।
⚡ Trick 2 — Same Chord दिखे तो Same Angle
एक ही chord द्वारा same segment में बनाए गए angles बराबर होते हैं।
⚡ Trick 3 — Tangent दिखे तो Radius पर 90°
Point of contact पर radius को tangent से जोड़ते ही right angle बनता है।
⚡ Trick 4 — Centre Angle Double
एक ही arc के लिए central angle = circumference angle का 2 गुना।
⚡ Trick 5 — Cyclic Quadrilateral
Opposite angles सीधे 180° का pair बनाते हैं।
⚡ Trick 6 — External Tangent
एक ही external point से खींची गई tangents की lengths बराबर।
⚡ Trick 7 — Chord Distance
Center से chord पर perpendicular डालें। इससे chord दो बराबर भागों में बंट जाती है और right triangle बनाकर Pythagoras लगाया जा सकता है।
9. SOLVED EXAMPLES
🟢 Basic Example 1
Question: किसी circle की radius 7 cm है। उसका diameter कितना होगा?
d = 2r = 2 × 7 = 14 cm.
Concept: Diameter = 2 × Radius.
🟢 Basic Example 2
Question: Circle की diameter 20 cm है। Radius कितनी होगी?
r = d/2 = 20/2 = 10 cm.
🟢 Basic Example 3
Question: Radius 7 cm वाले circle का circumference कितना है? π = 22/7 लें।
C = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
🟡 Medium Example 4
Question: किसी circle में centre पर किसी arc द्वारा बनाया गया angle 100° है। उसी arc द्वारा circumference पर बना angle कितना होगा?
Central angle = 2 × Inscribed angle.
Inscribed angle = 100°/2 = 50°.
🟡 Medium Example 5
Question: किसी circle की chord की लंबाई 16 cm है और centre से chord की perpendicular distance 6 cm है। Radius निकालिए।
Centre से perpendicular chord को bisect करता है।
Half chord = 16/2 = 8 cm.
अब right triangle में:
r² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
अतः r = 10 cm.
🟠 Hard Example 6
Question: एक external point से circle पर tangent की लंबाई 12 cm है। यदि उसी point से secant circle को 8 cm और 18 cm की distances पर काटती है, तो दिए गए data की consistency जाँचिए।
Tangent-secant theorem के अनुसार:
PT² = PA × PB
PT² = 8 × 18 = 144
PT = 12 cm.
इसलिए data वास्तव में consistent है।
महत्वपूर्ण: यहाँ “8 cm और 18 cm” near और whole secant distances मानी गई हैं।
🟠 Hard Example 7
Question: एक cyclic quadrilateral में एक angle 68° है। उसके opposite angle का मान क्या होगा?
Opposite angles का sum 180°.
Required angle = 180° − 68° = 112°.
🔴 Advanced Example 8
Question: Circle की equation (x − 3)² + (y + 4)² = 25 है। Centre और radius बताइए।
Standard form: (x − h)² + (y − k)² = r².
h = 3, k = −4 और r² = 25.
अतः centre = (3,−4), radius = 5.
10. PYQ MASTER SECTION
इस master page में किसी प्रश्न को “वास्तविक PYQ” कहकर प्रस्तुत नहीं किया गया है जब तक उसके exact official paper/year/shift से प्रश्न का स्वतंत्र सत्यापन उपलब्ध न हो। इसलिए नीचे दिए गए प्रश्नों को PYQ के स्थान पर “PYQ Pattern Based Important Question” के रूप में दिया गया है।
📝 PYQ Pattern Based Question 1
एक circle में diameter द्वारा circumference पर बने angle का मान क्या होगा?
Concept: Angle in a semicircle.
📝 PYQ Pattern Based Question 2
यदि tangent और radius point of contact पर मिलते हैं, तो angle कितना होगा?
📝 PYQ Pattern Based Question 3
एक ही circle में दो equal chords centre से कैसी दूरी पर होती हैं?
Official-paper research note: UPSC की official previous-question-paper repository में NDA Mathematics तथा अन्य परीक्षाओं के papers उपलब्ध हैं। Exact PYQ extraction के लिए संबंधित वर्ष और paper की original PDF से question-level verification आवश्यक है।
11. PYQ PATTERN ANALYSIS
| Pattern | क्या पूछा जा सकता है | Preparation Focus |
|---|---|---|
| Basic Geometry | Radius, Diameter, Chord | Definitions और direct formulas |
| Angle Properties | Central/Inscribed angle | 2:1 relationship |
| Semicircle | Diameter subtends 90° | Right triangle recognition |
| Chord | Equal chord, perpendicular from centre | Bisector + Pythagoras |
| Tangent | Radius-tangent angle | 90° rule |
| Two Tangents | External point से tangent lengths | Equal tangent theorem |
| Power of Point | Tangent/secant या secant/secant | Product relation |
| Cyclic Quadrilateral | Opposite angles | Sum = 180° |
| Mensuration | Area/circumference/sector | Formula + unit conversion |
| Coordinate Circle | Equation, centre, radius | Standard/general form |
SSC-specific evidence: SSC CGL के official syllabus में circle, chords, tangents, chord-subtended angles और common tangents explicitly listed हैं। इसलिए SSC preparation में इस chapter के classical geometry concepts को स्पष्ट रूप से पढ़ना चाहिए।
Railway evidence: RRB NTPC official CEN में Mathematics के अंतर्गत Geometry और Trigonometry शामिल हैं। Exact subtopic emphasis recruitment/paper के अनुसार बदल सकता है।
UPSC NDA distinction: NDA के official Mathematics syllabus में circle का स्पष्ट उल्लेख analytical geometry में circle equation के रूप में मिलता है। इसलिए NDA-oriented student को coordinate geometry of circle भी पढ़ना चाहिए।
12. PRACTICE QUESTIONS
r² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
r = 10 cm.
13. CONCEPT BASED QUESTIONS
Concept 1
यदि दो chords equal हैं, तो क्या उनके centre से distance भी equal होगी?
उत्तर: हाँ, एक ही circle में equal chords centre से equal distances पर होती हैं।
Concept 2
क्या हर chord diameter होती है?
उत्तर: नहीं। Diameter एक विशेष chord है जो centre से गुजरती है।
Concept 3
क्या tangent centre से गुजर सकती है?
उत्तर: किसी non-degenerate circle के लिए centre से गुजरने वाली line circle को दो points पर intersect करेगी; इसलिए वह secant होगी, tangent नहीं।
Concept 4
यदि chord centre से गुजरती है तो वह क्या है?
उत्तर: Diameter.
14. ADVANCED LEVEL
14.1 Chord Length और Radius
यदि centre O से chord AB की perpendicular distance d है और radius r है, तो perpendicular foot chord को आधा करता है।
14.2 Two Chords Intersection
Circle के अंदर intersect करने वाली chords में intersection point से दोनों chords के segments के products बराबर होते हैं।
14.3 Power of a Point
External point P से tangent और secant drawn होने पर:
14.4 Coordinate Geometry Connection
Circle का standard equation:
यहाँ centre (h,k) और radius r होता है।
14.5 General Equation से Centre
General equation में x² और y² के coefficients बराबर और xy term absent होने की स्थिति standard circle form से संबंधित होती है। केवल किसी quadratic equation को देखकर बिना conditions जाँचे उसे circle न मानें।
14.6 Multi-Concept Example
Question: एक circle की radius 13 cm है और centre से chord की distance 5 cm है। Chord की length ज्ञात कीजिए।
Half chord = √(13²−5²)
= √(169−25) = √144 = 12 cm.
अतः chord = 2 × 12 = 24 cm.
15. COMMON MISTAKES
❌ गलती: Radius और diameter को समान मान लेना।
✅ सही: Diameter = 2 × Radius.
❌ गलती: हर chord को diameter मानना।
✅ सही: केवल centre से गुजरने वाली chord diameter है।
❌ गलती: Central angle और inscribed angle को समान मानना।
✅ सही: Same arc के लिए central angle = 2 × inscribed angle.
❌ गलती: Tangent और radius का angle 0° लेना।
✅ सही: Point of contact पर angle 90°.
❌ गलती: Cyclic quadrilateral में adjacent angles का sum 180° मान लेना।
✅ सही: Opposite angles का sum 180° होता है।
❌ गलती: Tangent-secant formula में near segment और whole secant को confuse करना।
✅ सही: PT² = near distance × whole secant distance.
❌ गलती: Equation (x−h)²+(y−k)²=r² में centre को (−h,−k) लिखना।
✅ सही: Centre = (h,k). Signs equation के अंदर देखकर निर्धारित करें।
16. EXAM-WISE STRATEGY
SSC
- Circle की basic definitions मजबूत रखें।
- Chord, tangent और angle properties को बिना diagram के पहचानने का अभ्यास करें।
- Semicircle = 90° को तुरंत identify करें।
- Circle + triangle mixed questions पर अभ्यास करें।
- Mensuration formulas को Geometry properties से अलग पहचानें।
Railway
- Elementary Geometry के साथ Mensuration तैयार करें।
- Direct formula और short calculation questions पर speed बढ़ाएँ।
- Geometry syllabus recruitment-specific होने के कारण latest CEN जरूर देखें।
UPSC NDA
- Classical circle properties के साथ coordinate geometry पर विशेष ध्यान दें।
- Circle equation, centre और radius extraction सीखें।
- Line-circle और coordinate-based geometry को भी syllabus context में पढ़ें।
Banking / Insurance
- Latest recruitment notification के syllabus को प्राथमिकता दें।
- जहाँ Geometry/Mensuration Quantitative Aptitude में हो, वहाँ basic-to-moderate circle concepts तैयार रखें।
- Speed के लिए formulas और calculation accuracy पर ध्यान दें।
State / Police / Teaching
- State-specific syllabus को final authority मानें।
- Radius, diameter, area, circumference, chord और basic angle properties को मजबूत करें।
- यदि recruitment syllabus में advanced geometry नहीं है तो अनावश्यक advanced topics पर अत्यधिक समय न दें।
17. QUICK REVISION
📌 Geometry Core
- d = 2r
- Diameter = Largest Chord
- All radii of same circle equal
- Centre ⟂ chord → chord bisected
📌 Angles
- Central = 2 × Inscribed
- Angle in semicircle = 90°
- Same segment angles equal
- Cyclic opposite angles = 180°
📌 Tangent
- Radius ⟂ tangent
- External tangents equal
- PT² = PA × PB
- Tangent-chord theorem
📌 Mensuration
- C = 2πr
- A = πr²
- Arc = θ/360 × 2πr
- Sector area = θ/360 × πr²
📌 Coordinate Circle
- (x−h)²+(y−k)²=r²
- Centre = (h,k)
- x²+y²=r² → centre origin
- General equation से centre/radius निकालना
18. FINAL REVISION BOX
🏆 GOLDEN RULES
- Diameter = 2 × Radius.
- Diameter सबसे बड़ी chord है।
- Centre से chord पर perpendicular chord को bisect करता है।
- Central angle उसी arc के inscribed angle का दुगुना होता है।
- Diameter द्वारा circumference पर बना angle 90° होता है।
- Same segment में angles equal होते हैं।
- Cyclic quadrilateral के opposite angles का sum 180° होता है।
- Radius और tangent point of contact पर perpendicular होते हैं।
- External point से drawn tangents equal होती हैं।
- Intersecting chords में products equal होते हैं।
- Tangent-secant में tangent² = near × whole secant.
🔥 TOP FORMULAS
d = 2r
C = 2πr
A = πr²
Arc Length = (θ/360°) × 2πr
Sector Area = (θ/360°) × πr²
PT² = PA × PB
PA × PB = PC × PD
Chord = 2√(r²−d²)
(x−h)²+(y−k)² = r²
🎯 LAST MINUTE CHECKLIST
- Radius और diameter का relation याद है?
- Chord और diameter में अंतर स्पष्ट है?
- Central तथा inscribed angle का 2:1 relation याद है?
- Semicircle का 90° rule याद है?
- Tangent-radius 90° rule याद है?
- Equal tangents theorem याद है?
- Cyclic quadrilateral के opposite angles याद हैं?
- Sector और segment का difference स्पष्ट है?
- Arc length और sector area formulas याद हैं?
- Power of point formulas याद हैं?
- Coordinate circle की standard equation आती है?
Circle को केवल formulas का chapter न समझें। सबसे अधिक उपयोगी skill है diagram देखकर तुरंत यह पहचानना कि कौन-सा theorem लागू होगा—90°, 2:1 angle relation, equal chords, perpendicular bisector, tangent-radius, cyclic quadrilateral या power of a point.