Differential Equations
First-Order First-Degree Differential Equations, विभिन्न प्रकार, Solution Methods तथा Growth and Decay Applications — Basic से Advanced Exam Level तक।
📋 Table of Contents
1️⃣ Chapter Introduction
Differential Equation क्या है?
जिस equation में किसी unknown function तथा उसके एक या अधिक derivatives का संबंध दिया गया हो, उसे Differential Equation कहते हैं।
यहाँ y unknown function है और dy/dx उसका first derivative है।
इस Chapter में क्या पढ़ेंगे?
- Differential Equation का अर्थ
- Order और Degree
- General तथा Particular Solution
- First-order First-degree equations
- Variable Separable Equations
- Homogeneous Equations
- Linear Differential Equations
- Bernoulli Type Equations
- Exact Differential Equations का परिचय
- Initial Condition से Particular Solution
- Growth and Decay Models
- Half-life और doubling-time आधारित applications
🎯 Exam Point
इस Chapter का सबसे महत्वपूर्ण skill है: equation के type को पहचानना और उसके अनुसार सही method चुनना।
2️⃣ Exam Applicability
इस topic की applicability सभी सामान्य government recruitment exams में समान नहीं है। Official syllabi में इसका स्पष्ट उपयोग विशेष रूप से higher-level mathematics, engineering mathematics और कुछ specialised scientific examinations में मिलता है। उदाहरण के लिए UPSC NDA syllabus में first-order first-degree differential equations और growth-decay applications स्पष्ट रूप से शामिल हैं। UPSC Engineering Services में engineering mathematics के अंतर्गत differential equations का विस्तृत उपयोग होता है।
| Exam / Category | Relevance | मुख्य उपयोग | संभावित Question Style |
|---|---|---|---|
| UPSC NDA/NA | Directly Relevant | First-order first-degree DE, growth & decay | Concept, solution, application |
| UPSC ESE | Highly Relevant for Engineering Mathematics | Engineering differential equations तथा applications | Numerical / conceptual / engineering application |
| UPSC Combined Geo-Scientist | Exam/discipline specific | कुछ technical mathematics papers में differential equations | Technical mathematical problems |
| SSC CGL | Not a standard direct topic | Official mathematical syllabus में सामान्य school-level mathematics | इस chapter की direct preparation सामान्यतः आवश्यक नहीं |
| SSC GD / MTS / CHSL | Generally Not Directly Relevant | सामान्य गणित के निर्धारित topics | Elementary mathematics |
| RRB NTPC / Group D | Generally Not Directly Relevant | Recruitment-specific mathematics | Basic arithmetic / algebra आदि |
| Banking | Generally Not Directly Relevant | Quantitative Aptitude आधारित सामान्य topics | Arithmetic / DI / reasoning-oriented numerical questions |
| Defence Technical Exams | Exam-specific | Technical/engineering mathematics में उपयोग संभव | Conceptual + numerical |
| Scientific / Engineering Recruitment | Often Relevant | Discipline-specific mathematics | Technical mathematical application |
| State Engineering / JE / AE Exams | Notification/branch specific | Engineering Mathematics | Numerical + conceptual |
3️⃣ Basic Concepts
📌 Differential Equation का सरल अर्थ
यदि किसी quantity के बदलने की rate को उसी quantity या दूसरी variable के साथ equation के रूप में व्यक्त किया जाए, तो differential equation बन सकती है।
यह बताता है कि y किस rate से x के साथ बदल रहा है।
Derivative की याद
dy/dx
d²y/dx²
d³y/dx³
dⁿy/dxⁿ
📐 Differential Equation का सामान्य रूप
यहाँ y′, y″ आदि y के derivatives हैं।
4️⃣ Important Definitions
Order
Differential equation में उपस्थित highest order derivative का order, उस differential equation का Order कहलाता है।
Order = 2
Degree
जब differential equation derivatives के संबंध में polynomial form में हो, तब highest order derivative की power को उसकी Degree कहते हैं।
Degree = 3
General Solution
ऐसा solution जिसमें आवश्यक arbitrary constant मौजूद हो और जो differential equation को satisfy करे, general solution कहलाता है।
Particular Solution
यदि initial या boundary condition की सहायता से arbitrary constant की value निर्धारित कर दी जाए, तो प्राप्त solution particular solution कहलाता है।
⚠️ Order और Degree में अंतर
Order = highest derivative कौन-सा है।
Degree = उस highest derivative की power क्या है, बशर्ते equation derivatives के संबंध में polynomial हो।
5️⃣ Formation of Differential Equation
कभी-कभी family of curves दी जाती है और हमें उसका differential equation बनाना होता है। इसके लिए arbitrary constants को differentiation करके eliminate किया जाता है।
उदाहरण: y = cx
जहाँ c arbitrary constant है।
Differentiation:
अब c = y/x. अतः:
अर्थात: x(dy/dx) - y = 0
💡 Formation Trick
- Arbitrary constant पहचानें।
- Equation को आवश्यक बार differentiate करें।
- Constants के लिए expressions निकालें।
- Original equation में substitute करके constants eliminate करें।
6️⃣ First-Order First-Degree Differential Equations के Types
| Type | पहचान | मुख्य Method |
|---|---|---|
| Variable Separable | dy/dx = f(x)g(y) | Variables अलग करके Integration |
| Homogeneous | dy/dx = F(y/x) | y = vx substitution |
| Linear | dy/dx + P(x)y = Q(x) | Integrating Factor |
| Bernoulli | dy/dx + Py = Qyⁿ | z = y^(1-n) |
| Exact | M dx + N dy = 0 और Mᵧ = Nₓ | Exactness + integration |
🔥 सबसे महत्वपूर्ण पहचान
Equation solve करने से पहले type पहचानें। गलत type चुनने से पूरी calculation गलत हो सकती है।
7️⃣ Variable Separable Differential Equation
परिभाषा
यदि equation को इस प्रकार लिखा जा सके कि x और y के terms अलग-अलग sides पर आ जाएँ, तो उसे variable separable equation कहते हैं।
यदि g(y) ≠ 0:
अब दोनों sides integrate करें।
📐 Standard Method
- dy/dx को equation के एक side पर रखें।
- y के terms को dy के साथ रखें।
- x के terms को dx के साथ रखें।
- दोनों sides integrate करें।
- यदि initial condition हो तो constant determine करें।
प्रश्न
dy/dx = 2x
Integrate दोनों sides:
उत्तर: y = x² + C
प्रश्न
dy/dx = xy
Variables separate करें:
Integrate:
Exponential लेने पर:
उत्तर: y = Ce^(x²/2)
⚠️ Important Trap
यदि आपने y से divide किया है, तो y = 0 जैसी संभावित solution को अलग से check करना उचित है। Division से कोई solution खो सकता है।
8️⃣ Homogeneous Differential Equation
पहचान
यदि first-order equation को इस रूप में लिखा जा सके:
तो यह सामान्यतः homogeneous first-order differential equation होती है।
🔄 मुख्य Substitution
जहाँ v = y/x. अब:
इसके बाद equation में substitute करके variables को separate करने का प्रयास किया जाता है।
प्रश्न
dy/dx = 1 + y/x
यह F(y/x) के form में है, इसलिए:
अतः:
Substitute:
अतः:
Integrating:
क्योंकि v = y/x:
उत्तर:
9️⃣ Linear Differential Equation
📐 Standard Form
यह first-order linear differential equation का standard form है।
Integrating Factor (I.F.)
Solution:
⚡ Linear Equation की Fast Identification
- y की power केवल 1 होनी चाहिए।
- dy/dx की power 1 होनी चाहिए।
- y और dy/dx का product नहीं होना चाहिए।
- y का coefficient x का function हो सकता है।
- Standard form: y′ + Py = Q.
प्रश्न
dy/dx + y/x = x
यह linear equation है:
अतः:
सामान्य interval में इसे x के रूप में लिया जा सकता है:
Equation को x से multiply करें:
Left side:
Integrate:
अतः:
🔟 Bernoulli Differential Equation
Standard Form
जहाँ n सामान्यतः 0 या 1 नहीं है, यह Bernoulli equation का standard form है।
🔄 मुख्य Substitution
Differentiation के बाद equation को z के लिए linear differential equation में बदला जा सकता है।
🧠 Memory Trick
Bernoulli → Power of y दिखाई दे → y^(1−n) substitution याद करें।
1️⃣1️⃣ Exact Differential Equation
यदि equation को:
के रूप में लिखा गया हो, तो exactness check करने के लिए:
जाँचा जाता है।
📌 Exact होने की स्थिति
यदि equality valid है, तो equation exact differential equation है (उपयुक्त domain/regularity conditions के अंतर्गत)।
⚠️ ध्यान दें
हर equation Mdx + Ndy = 0 अपने आप exact नहीं होती। पहले partial derivatives compare करें।
1️⃣2️⃣ Growth and Decay Applications
📈 Basic Principle
यदि किसी quantity की rate of change उस quantity के proportional हो, तो mathematical model:
हो सकता है।
यहाँ:
- N = quantity
- t = time
- k = proportionality constant
General Solution
Variables separate:
Integrate:
अतः:
यदि initial condition N(0)=N₀ है:
📈 Growth
यदि k > 0, तो ideal exponential model में quantity समय के साथ बढ़ती है।
📉 Decay
यदि k < 0, तो quantity समय के साथ घटती है।
🧪 Example: Population Growth
मान लें किसी population का model:
यदि P(0)=1000 और k=0.02 है, तो:
यहाँ t उसी time unit में होना चाहिए जिसमें k दिया गया है।
☢️ Radioactive Decay / General Decay Model
इसका solution:
⏱️ Half-Life
यदि T half-life है, तो:
Decay model:
अतः:
और इसलिए:
⏱️ Doubling Time
Growth model N=N₀e^(kt) में यदि doubling time T है:
अतः:
और:
Growth Example
किसी population का प्रारम्भिक मान 500 है और वह 10% की continuous proportional growth rate से बढ़ती है। Model लिखिए।
Continuous proportional growth के लिए:
यहाँ k=0.10 और P₀=500.
उत्तर: P(t)=500e^(0.10t)
Decay Example
किसी पदार्थ की half-life 5 वर्ष है। प्रारम्भिक मात्रा N₀ है। 15 वर्ष बाद कितनी मात्रा बचेगी?
15 वर्ष = 3 half-lives.
उत्तर: प्रारम्भिक मात्रा का 1/8 भाग।
1️⃣3️⃣ ⚡ Formula / Rules / Tricks
Variable Separable
Homogeneous
Linear
Bernoulli
Exact Equation
Growth
Decay
Half-Life
🧠 Type Identification Memory Map
- Variables अलग हो सकते हैं? → Separable
- केवल y/x दिखाई देता है? → Homogeneous substitution y=vx
- y′ + Py = Q? → Linear + I.F.
- y की non-linear power और linear बाकी? → Bernoulli
- Mdx + Ndy? → Exactness check Mᵧ=Nₓ
- Rate proportional to quantity? → Growth/Decay model
1️⃣4️⃣ 📝 Solved Examples
Question 1
dy/dx = 3x²
∫dy = ∫3x²dx
Question 2
Find order and degree:
Highest derivative second derivative है, इसलिए order 2. उस derivative की power 1 है, इसलिए degree 1.
Question 3
Solve:
Separate:
Integrate:
अतः:
Concept Used: Variable Separation
Question 4
Solve:
यह linear equation है।
Multiply:
Left side:
Integrate:
अतः:
Question 5
यदि किसी quantity की rate of change उसके वर्तमान value के proportional है और N(0)=N₀, तो differential equation और solution लिखिए।
"Rate proportional to quantity" का अर्थ:
इसलिए:
Variable separation और integration से:
Question 6
Solve:
Linear form में:
Multiply by x:
Integrate:
उत्तर: y=x³/4+C/x
1️⃣5️⃣ 🔥 PYQ Section
⚠️ PYQ Authenticity Rule
इस Chapter के लिए बिना official question paper/source verification के किसी प्रश्न को किसी particular वर्ष, shift या examination का वास्तविक PYQ नहीं कहा गया है।
📌 Verified Syllabus-Based Exam Pattern
UPSC NDA/NA के official syllabus में “solution of first order and first degree differential equations of various types” तथा growth and decay applications स्पष्ट रूप से दिए गए हैं। इसलिए NDA preparation में इस chapter के concepts सीधे syllabus-relevant हैं।
Question
यदि dN/dt = kN और k > 0 है, तो N(t) का सामान्य रूप क्या होगा?
यह proportional growth model है:
इसका solution:
1️⃣6️⃣ 🎯 Practice Questions
Q1. Differential equation का order किससे निर्धारित होता है?
Q2. dy/dx = 2x का solution क्या है?
Q3. Linear first-order DE का standard form क्या है?
Q4. y′+P(x)y=Q(x) का integrating factor क्या है?
Q5. Homogeneous equation dy/dx=F(y/x) में सामान्य substitution क्या है?
Q6. यदि dN/dt=kN और k<0 है, तो model किस phenomenon को represent करता है?
Q7. किसी quantity की half-life T है। t=T पर remaining quantity क्या होगी?
Q8. यदि dN/dt=kN और doubling time T है, तो k क्या होगा?
Q9. Exact differential equation Mdx+Ndy=0 के लिए कौन-सी condition उपयोगी है?
Q10. Bernoulli equation y′+Py=Qyⁿ में useful substitution क्या है?
📝 Practice Answer Key
1-B | 2-B | 3-A | 4-B | 5-B | 6-B | 7-C | 8-B | 9-B | 10-B
🔎 Detailed Solutions
Q1: Order highest derivative से निर्धारित होता है।
Q2: ∫2x dx = x²+C.
Q3: First-order linear standard form y′+Py=Q है।
Q4: I.F.=e^(∫Pdx).
Q5: y=vx लेने पर dy/dx=v+x dv/dx प्राप्त होता है।
Q6: k negative होने पर e^(kt) समय के साथ घटता है।
Q7: Half-life पर quantity का आधा भाग बचता है।
Q8: 2=e^(kT), इसलिए k=ln2/T.
Q9: Exactness के लिए Mᵧ=Nₓ check किया जाता है।
Q10: Bernoulli transformation z=y^(1−n) equation को linear form में बदलने में मदद करती है।
1️⃣7️⃣ ⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं
❌ गलती 1: Order और Degree को एक समझना
✅ Order derivative की highest order है; degree उसकी power है, जब degree defined हो।
❌ गलती 2: हर equation में Integrating Factor लगा देना
✅ पहले देखें कि equation वास्तव में linear form में है या नहीं।
❌ गलती 3: Homogeneous equation में y=vx भूल जाना
✅ dy/dx=F(y/x) दिखे तो y=vx एक प्रमुख substitution है।
❌ गलती 4: Growth और Decay का sign उलट देना
✅ Growth model में k>0 और decay model में k<0 रखा जा सकता है; decay को अक्सर dN/dt=-kN, k>0 के रूप में लिखा जाता है।
❌ गलती 5: Half-life और doubling time confuse करना
✅ Half-life में N=N₀/2, जबकि doubling time में N=2N₀.
❌ गलती 6: Division के बाद lost solution check न करना
✅ यदि किसी variable से divide किया है, तो संभावित zero solution को अलग से verify करें।
1️⃣8️⃣ 🚀 Exam Strategy
Step 1 — Equation पहचानें
Calculation शुरू करने से पहले देखें कि equation separable, homogeneous, linear, Bernoulli या exact किस प्रकार की है।
Step 2 — Standard Form बनाएं
विशेषकर linear equation में:
बनाना महत्वपूर्ण है।
Step 3 — Method Apply करें
- Separable → Variables separate
- Homogeneous → y=vx
- Linear → I.F.
- Bernoulli → y^(1−n)
- Exact → Mᵧ=Nₓ
Step 4 — Answer Verify करें
यदि समय उपलब्ध हो तो obtained solution को differentiate करके original equation में substitute करें। इससे calculation error पकड़ने में मदद मिलती है।
⚡ Time-Saving Rule
Differential Equation में सबसे अधिक समय अक्सर integration में नहीं बल्कि equation type पहचानने में बचाया जा सकता है।
1️⃣9️⃣ ⚡ Quick Revision
Highest derivative order
Highest derivative की power
Variables अलग करें
y=vx
y′+Py=Q
e^(∫Pdx)
z=y^(1−n)
Mᵧ=Nₓ
N=N₀e^(kt)
N=N₀e^(-kt)
k=ln2/T
k=ln2/T
🔥 10-Second Formula Sheet
2️⃣0️⃣ 🏆 Final Revision Box
🔥 Most Important Concepts
- Differential equation में derivative और unknown function का relation होता है।
- Order highest derivative से निर्धारित होता है।
- Degree highest derivative की power से निर्धारित होती है, जब equation derivative के संबंध में polynomial हो।
- First-order first-degree equations के लिए type identification बहुत महत्वपूर्ण है।
- Separable equation में variables अलग किए जाते हैं।
- Homogeneous equation में y=vx substitution प्रमुख है।
- Linear equation में integrating factor का उपयोग होता है।
- Bernoulli equation को suitable substitution से linear बनाया जाता है।
- Exact equation में Mᵧ=Nₓ condition check की जाती है।
- Growth-decay में rate quantity के proportional होने पर exponential model मिलता है।
🔥 Top Formulas
🔥 Last Minute Points
- पहले type पहचानें, फिर method लगाएँ।
- Linear equation को standard form में लाएँ।
- Homogeneous में y=vx याद रखें।
- Bernoulli में exponent n देखकर substitution चुनें।
- Exact equation में partial derivatives compare करें।
- Growth और decay में sign का ध्यान रखें।
- Half-life में quantity आधी होती है।
- Doubling time में quantity दोगुनी होती है।
- Initial condition मिलने पर arbitrary constant निकालें।
- Final solution को original equation में substitute करके verify करना सबसे अच्छा error-check है।
🧠 Master Memory Code
S = Separable → H = Homogeneous → L = Linear → B = Bernoulli → E = Exact → G/D = Growth/Decay
📚 Final Study Checklist
- ☐ Differential Equation की definition
- ☐ Order और Degree
- ☐ General और Particular Solution
- ☐ Formation of Differential Equation
- ☐ Variable Separable Method
- ☐ Homogeneous Method
- ☐ Linear Method + I.F.
- ☐ Bernoulli Method
- ☐ Exact Differential Equation
- ☐ Growth Model
- ☐ Decay Model
- ☐ Half-Life
- ☐ Doubling Time
- ☐ Solved Examples
- ☐ Concept-Based Questions
- ☐ Practice Questions
- ☐ Formula Revision
- ☐ Original Equation में Answer Verification
🎯 Core Exam Principle
Equation को देखकर उसका Type पहचानो → सही Method चुनो → Calculation करो → Solution को Verify करो।