Differentiation Notes – Derivative, Rules & Formulas

Sarkari Result Education • Mathematics Master Notes

Differential Calculus — Differentiation

Derivative • Geometrical Interpretation • Physical Interpretation • Sum Rule • Product Rule • Quotient Rule • Chain Rule • Second Derivative

Chapter Introduction

Differentiation क्या है?

Differentiation वह गणितीय प्रक्रिया है जिसके द्वारा किसी function में independent variable के परिवर्तन के प्रति dependent variable के परिवर्तन की दर ज्ञात की जाती है।

सरल भाषा में: यदि y = f(x), तो x में बहुत छोटा परिवर्तन होने पर y कितनी तेजी से बदलता है, इसे derivative द्वारा मापा जाता है।

मुख्य संकेत:

Derivative of y with respect to x = dy/dx = f'(x)

Differentiation Differential Calculus का मूल भाग है। इसका उपयोग slope, rate of change, velocity, acceleration, maxima-minima, approximation, optimization तथा अनेक engineering, physics और higher mathematics problems में होता है।

1️⃣ Exam Applicability

इस chapter की applicability परीक्षा के syllabus और post के अनुसार बदलती है। इसलिए नीचे केवल syllabus-based broad applicability दी गई है; इसे हर परीक्षा में अनिवार्य topic न माना जाए।

Exam Category	Exam / Area	Relevance	Typical Use
UPSC	ESE / Engineering Mathematics	Directly relevant where Engineering Mathematics syllabus includes Calculus	Derivative, applications, calculus-based problems
UPSC	NDA/NA Mathematics	Relevant	Calculus concepts and application-based mathematics
UPSC	CDS Elementary Mathematics	Exam-specific; not equivalent to an advanced calculus syllabus	Check current notification before treating differentiation as a required topic
SSC	CGL / CHSL / MTS आदि	Generally not a core differentiation topic in the cited SSC CGL indicative syllabus	School-level arithmetic, algebra, geometry, trigonometry आदि
Railway	RRB JE / Technical posts	Exam-specific	Technical/engineering syllabus के अनुसार applicability बदलती है
Banking	IBPS / SBI / RBI सामान्य aptitude exams	Generally not a standard direct topic	Quantitative Aptitude मुख्यतः arithmetic, DI, algebra आदि पर आधारित
Teaching	TGT / PGT / Lecturer / Subject Mathematics	Generally relevant for Mathematics subject examinations	Derivative, applications, higher-order derivatives
Engineering	ESE / JE / AE / Technical Recruitment	Generally relevant where Engineering Mathematics is prescribed	Calculus, differential equations, optimization आदि
Scientific	Scientific / Technical recruitment	Post-specific	Mathematics/physics/engineering syllabus के अनुसार
State Exams	State AE / JE / Lecturer / Mathematics posts	Exam-specific applicability varies	Notification syllabus पर निर्भर

Exam Point: SSC CGL के उपलब्ध official indicative syllabus में Quantitative Aptitude/Mathematical Abilities के अंतर्गत arithmetic, algebra, geometry, mensuration, trigonometry और statistics/probability जैसे क्षेत्रों को सूचीबद्ध किया गया है; differentiation को उस syllabus में अलग topic के रूप में सूचीबद्ध नहीं किया गया है।

2️⃣ Table of Contents

Basic Concepts Definitions Derivative Geometrical Interpretation Physical Interpretation Differentiation Rules Second Derivative Formula Sheet Solved Examples PYQ Section Practice Questions Common Mistakes Exam Strategy Quick Revision

3️⃣ Basic Concepts — Zero Level से

Variable

जिस quantity का मान बदल सकता है उसे variable कहते हैं। जैसे x, y, t.

Constant

जिस quantity का मान fixed रहता है उसे constant कहते हैं। जैसे 2, 5, π.

Function

यदि y का मान x पर निर्भर है, तो हम लिख सकते हैं:

y = f(x)

Rate of Change

एक quantity में परिवर्तन की तुलना दूसरी quantity के परिवर्तन से करने पर rate of change मिलता है।

Average Rate = Δy / Δx

Derivative का मूल विचार:

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

ध्यान दें: Derivative instantaneous rate of change को दर्शाता है, जबकि Δy/Δx finite interval का average rate of change है।

4️⃣ Important Definitions

Derivative

Function के instantaneous rate of change को derivative कहते हैं।

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h

Differentiability

यदि किसी point पर derivative finite और well-defined रूप में मौजूद है, तो function उस point पर differentiable कहलाता है।

Second Derivative

First derivative का पुनः differentiation करने पर second derivative मिलता है।

y' = dy/dx
y'' = d²y/dx²

Derivative at a Point

किसी particular x = a पर derivative का मान f'(a) होता है।

5️⃣ Derivative की मूल परिभाषा

First Principle

f'(x) = lim(h→0) {f(x+h)-f(x)}/h

Example: y = x²

Step 1:

f(x)=x²

Step 2:

f(x+h)=(x+h)²=x²+2xh+h²

Step 3:

f(x+h)-f(x)=2xh+h²

Step 4:

[2xh+h²]/h = 2x+h

Step 5:

lim(h→0)(2x+h)=2x

अतः:

d(x²)/dx = 2x

Exam Point: First Principle से derivative निकालते समय पहले f(x+h) निकालें, फिर f(x) subtract करें, h से divide करें और अंत में h → 0 limit लगाएं।

6️⃣ Geometrical Interpretation of Derivative

यदि curve को y=f(x) से दर्शाया गया है, तो किसी point पर derivative उस curve की tangent की slope को बताता है।

Slope of tangent = dy/dx

Secant से Tangent तक

Secant slope = [f(x+h)-f(x)]/h

जब h → 0, Secant tangent के करीब जाता है।
इसलिए Tangent slope = f'(x)

f'(x) > 0

Curve locally increasing direction में है।

f'(x) < 0

Curve locally decreasing direction में है।

f'(x) = 0

Horizontal tangent हो सकती है। यह अकेले maximum/minimum सिद्ध नहीं करता।

Trap Point: f'(x)=0 का अर्थ हमेशा maximum या minimum नहीं होता। उदाहरण: f(x)=x³ पर x=0 के लिए f'(0)=0 है, लेकिन x=0 local maximum/minimum नहीं है।

7️⃣ Physical Interpretation

Position → Velocity → Acceleration

यदि किसी particle की position समय t के साथ s(t) है:

Velocity: v = ds/dt

Acceleration: a = dv/dt = d²s/dt²

याद रखें: Position का first derivative velocity देता है और position का second derivative acceleration देता है।

Example

s(t)=t³+2t²+5t

v(t)=ds/dt=3t²+4t+5

a(t)=dv/dt=6t+4

8️⃣ Differentiation Rules

Rule 1 — Constant Rule

d(c)/dx = 0

किसी constant का derivative zero होता है।

d(7)/dx = 0

Rule 2 — Power Rule

d(xⁿ)/dx = n xⁿ⁻¹

जहाँ n constant है।

d(x⁵)/dx = 5x⁴
d(x⁻²)/dx = -2x⁻³
d(√x)/dx = 1/(2√x)

Rule 3 — Constant Multiple Rule

d[kf(x)]/dx = k f'(x)

d(5x³)/dx = 15x²

Rule 4 — Sum Rule

d/dx [f(x)+g(x)] = f'(x)+g'(x)

d/dx(x³+4x²+7x)
=3x²+8x+7

Rule 5 — Difference Rule

d/dx [f(x)-g(x)] = f'(x)-g'(x)

Rule 6 — Product Rule

d(uv)/dx = u(dv/dx)+v(du/dx)

= uv' + vu'

Memory Trick: First × derivative of second + Second × derivative of first.

Example

y=x² sin x

u=x², v=sin x
u'=2x, v'=cos x

y'=x²cos x + 2x sin x

Rule 7 — Quotient Rule

d(u/v)/dx = [v u' - u v'] / v²

Memory Trick: Denominator × derivative of numerator − Numerator × derivative of denominator, पूरा denominator का square।

Example

y=(x²+1)/(x+1)

u=x²+1, u'=2x
v=x+1, v'=1

y'=[(x+1)(2x)-(x²+1)(1)]/(x+1)²
=[2x²+2x-x²-1]/(x+1)²
=(x²+2x-1)/(x+1)²

Rule 8 — Chain Rule

जब एक function दूसरे function के अंदर मौजूद हो, तो chain rule उपयोग किया जाता है।

If y=f(g(x)),
dy/dx = f'(g(x)) · g'(x)

Example

y=(3x²+1)⁵

Outer function = u⁵
Inner function = u=3x²+1

dy/du=5u⁴
du/dx=6x

dy/dx=5u⁴·6x
=30x(3x²+1)⁴

9️⃣ Standard Derivatives

Function	Derivative
c	0
xⁿ	nxⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	-sin x
tan x	sec² x
cot x	-cosec² x
sec x	sec x tan x
cosec x	-cosec x cot x

Important: Trigonometric derivatives ऊपर दिए गए रूप में radians में standard calculus convention के अंतर्गत हैं।

🔟 Chain Rule के महत्वपूर्ण रूप

d/dx[(ax+b)ⁿ] = n a(ax+b)ⁿ⁻¹

d/dx[sin(ax+b)] = a cos(ax+b)

d/dx[cos(ax+b)] = -a sin(ax+b)

d/dx[e^(ax+b)] = a e^(ax+b)

d/dx[ln(ax+b)] = a/(ax+b)

1️⃣1️⃣ Second Derivative

यदि first derivative को फिर से differentiate किया जाए, तो second derivative प्राप्त होता है।

y' = dy/dx
y'' = d²y/dx²

Example

y=x⁴-3x³+2x²

y'=4x³-9x²+4x

y''=12x²-18x+4

Application: Second derivative curve की concavity और कई optimization problems में महत्वपूर्ण होता है।

⚡ Formula / Rules / Tricks

Power

d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹

Sum

(u+v)'=u'+v'

Product

(uv)'=uv'+vu'

Quotient

(u/v)'=(vu'-uv')/v²

Chain

dF(g(x))/dx=F'(g(x))g'(x)

Second Derivative

y''=d²y/dx²

Product Rule Trick: “पहला × दूसरे का derivative + दूसरा × पहले का derivative”

Quotient Rule Trick: “नीचे × ऊपर का derivative − ऊपर × नीचे का derivative, नीचे²”

Chain Rule Trick: “बाहर का derivative × अंदर का derivative”

1️⃣2️⃣ Solved Examples

🟢 BASIC

Example 1

यदि y = 5x⁴ − 3x² + 7, तो dy/dx क्या है?

A) 20x³ − 6x

B) 20x⁴ − 6x

C) 5x³ − 3x

D) 20x³ − 3x

Correct Answer: A

dy/dx = 20x³ - 6x

Concept Used: Power Rule + Sum/Difference Rule.

🟡 MEDIUM

Example 2

यदि y=(2x+1)⁶ है, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

A) 6(2x+1)⁵

B) 12(2x+1)⁵

C) 6(2x+1)⁶

D) 12(2x+1)⁶

Correct Answer: B

y=(2x+1)⁶
dy/dx=6(2x+1)⁵×2
=12(2x+1)⁵

Concept Used: Chain Rule.

🟠 HARD

Example 3

यदि y=x²eˣ है, तो dy/dx क्या होगा?

A) x²eˣ

B) eˣ(x²+2x)

C) 2xeˣ

D) eˣ(x²−2x)

Correct Answer: B

u=x², u'=2x
v=eˣ, v'=eˣ

y'=uv'+vu'
=x²eˣ+2xeˣ
=eˣ(x²+2x)

Concept Used: Product Rule.

🔴 ADVANCED

Example 4

यदि y=sin(x²), तो d²y/dx² ज्ञात कीजिए।

y'=2x cos(x²)

y''=2cos(x²)+2x[-sin(x²)](2x)
=2cos(x²)-4x²sin(x²)

1️⃣3️⃣ Geometrical Application — Tangent

🟡 MEDIUM

Curve y=x² पर x=2 पर tangent की slope क्या होगी?

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

Correct Answer: B

y=x²
dy/dx=2x
x=2 रखने पर slope=4

1️⃣4️⃣ Physical Application — Velocity

🟡 MEDIUM

किसी particle की position s=t²+3t+5 है। t=2 पर velocity क्या होगी?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

Correct Answer: C

v=ds/dt=2t+3
t=2
v=4+3=7

🔥 PYQ Section

PYQ Authenticity Notice: इस chapter के नीचे दिए गए प्रश्नों को जानबूझकर “Real PYQ” नहीं कहा गया है। उपलब्ध official material की समीक्षा के आधार पर किसी specific differentiation question के Exam + Year + Shift + Paper विवरण की पूर्ण पुष्टि यहाँ नहीं की गई है। इसलिए नीचे के प्रश्न PYQ Pattern Based Important Questions के रूप में दिए गए हैं।

PYQ Pattern Based Important Question

यदि f(x)=x³−3x²+2x है, तो f'(x) क्या है?

A) 3x²−6x+2

B) 3x²−3x+2

C) x²−6x+2

D) 3x²−6x

Correct Answer: A

f'(x)=3x²−6x+2

PYQ Pattern Based Important Question

यदि y=(x²+1)³ है, तो dy/dx क्या होगा?

A) 3(x²+1)²

B) 6x(x²+1)²

C) 3x(x²+1)²

D) 6(x²+1)³

Correct Answer: B

dy/dx=3(x²+1)²×2x
=6x(x²+1)²

PYQ Pattern Based Important Question

यदि y=x² sin x है, तो x=π पर dy/dx का मान क्या है?

A) −π²

B) π²

C) −2π

D) 0

Correct Answer: −π²

y'=2x sin x+x²cos x
x=π पर:
2π sinπ + π²cosπ
=0−π²
=−π²

1️⃣5️⃣ Exam-Wise Question Pattern

Exam Area	Possible Question Style	Important Subtopics
Engineering Mathematics	Direct formula + conceptual + application	Derivative rules, chain rule, higher derivatives
NDA/Mathematics-type competitive paper	Objective calculation/application	Standard derivatives, algebraic/trigonometric functions, applications
Mathematics Subject Exams	Conceptual + proof/application oriented	Derivative, differentiability, geometrical meaning, higher derivatives
Technical Recruitment	Post-specific mathematical/technical application	Calculus according to notification
General Aptitude Exams	Usually not a direct differentiation chapter unless notification specifies it	Check current syllabus

1️⃣6️⃣ Practice Questions

🟢 BASIC

यदि y=7x⁵ है, तो dy/dx क्या होगा?

A) 35x⁴

B) 7x⁴

C) 35x⁵

D) 5x⁷

🟢 BASIC

Constant 25 का derivative क्या है?

A) 25

B) 1

C) 0

D) −25

🟡 MEDIUM

यदि y=sin(3x), तो dy/dx क्या है?

A) cos(3x)

B) 3cos(3x)

C) −3sin(3x)

D) 3sin x

🟡 MEDIUM

यदि y=x³eˣ है, तो dy/dx क्या है?

A) eˣ(x³+3x²)

B) 3x²eˣ

C) x³eˣ

D) eˣ(x³−3x²)

🟠 HARD

यदि y=(x²+1)/(x−1), तो dy/dx क्या है?

A) (x²−2x−1)/(x−1)²

B) (x²+2x−1)/(x−1)²

C) (2x−1)/(x−1)

D) (x²−1)/(x−1)²

🟠 HARD

यदि y=cos(x²), तो dy/dx क्या होगा?

A) −sin(x²)

B) −2x sin(x²)

C) 2x cos(x²)

D) sin(x²)

🔴 ADVANCED

यदि y=x³−3x²+3x+5, तो d²y/dx² क्या होगा?

A) 6x−6

B) 3x²−6x+3

C) 6x−3

D) 6x+6

🔴 ADVANCED

यदि y=e^(x²+1), तो dy/dx क्या होगा?

A) e^(x²+1)

B) 2xe^(x²+1)

C) x²e^(x²+1)

D) 2x+e^(x²+1)

Answer Key

Q	Answer	Concept
1	A	Power Rule
2	C	Constant Rule
3	B	Chain Rule
4	A	Product Rule
5	A	Quotient Rule
6	B	Chain Rule
7	A	Second Derivative
8	B	Chain Rule

Detailed Solutions

Q1:

d(7x⁵)/dx=35x⁴

Q2:

d(25)/dx=0

Q3:

d[sin(3x)]/dx=cos(3x)×3=3cos(3x)

Q4:

y'=3x²eˣ+x³eˣ
=eˣ(x³+3x²)

Q5:

u=x²+1, u'=2x
v=x−1, v'=1

y'=[(x−1)(2x)−(x²+1)]/(x−1)²
=(2x²−2x−x²−1)/(x−1)²
=(x²−2x−1)/(x−1)²

Q6:

y'=−sin(x²)×2x
=−2x sin(x²)

Q7:

y'=3x²−6x+3
y''=6x−6

Q8:

y=e^(x²+1)
y'=e^(x²+1)×2x
=2xe^(x²+1)

1️⃣7️⃣ Concept Based Questions

🟡 MEDIUM

यदि किसी point पर f'(x)=0 है, तो क्या यह निश्चित है कि वह point local maximum या local minimum होगा?

उत्तर: नहीं। f'(x)=0 केवल stationary point होने का संकेत देता है। आगे first/second derivative test या अन्य analysis की आवश्यकता हो सकती है।

🟠 HARD

यदि s(t) position है, तो s'(t) और s''(t) क्रमशः क्या दर्शाते हैं?

उत्तर: s'(t) velocity और s''(t) acceleration को दर्शाते हैं।

🔴 ADVANCED

यदि f'(x)>0 किसी interval में सभी x के लिए है, तो सामान्यतः function उस interval में किस प्रकार व्यवहार करता है?

उत्तर: Function increasing behavior दर्शाता है।

1️⃣8️⃣ Comparison Table

Concept	Meaning	Formula
Average Rate	Finite interval में change	Δy/Δx
Derivative	Instantaneous rate of change	dy/dx
First Derivative	Rate/slope	y'
Second Derivative	Rate of change of first derivative	y''
Geometrical Meaning	Tangent की slope	dy/dx
Physical Meaning	Position का first derivative	Velocity

⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं

❌ Product rule में केवल पहले function का derivative निकालना।

✅ (uv)'=uv'+vu' पूरा formula लगाएं।

❌ Quotient rule में denominator को square करना भूलना।

✅ (u/v)'=(vu'-uv')/v² याद रखें।

❌ Chain rule में inner derivative भूल जाना।

✅ बाहर का derivative × अंदर का derivative करें।

❌ f'(x)=0 को सीधे maximum/minimum मान लेना।

✅ आगे derivative test या function behavior check करें।

❌ Trigonometric derivative में sign भूल जाना।

✅ d(cos x)/dx = −sin x तथा d(cosec x)/dx = −cosec x cot x.

❌ Degree/radian convention को ignore करना।

✅ Standard calculus trigonometric derivative formulas radians के संदर्भ में लागू होते हैं।

🚀 Exam Strategy

पहले basic derivative formulas याद करें।
Power Rule को बिना calculation delay के apply करना सीखें।
Product और Quotient Rule में u-v identification स्पष्ट रखें।
Bracket के अंदर function दिखे तो Chain Rule check करें।
Question में second derivative मांगा हो तो first derivative को दोबारा differentiate करें।
Application questions में derivative का meaning पहचानें — slope, velocity या acceleration।
MCQ में options को derivative से तुरंत verify करें।
बहुत लंबी calculation शुरू करने से पहले simplification की संभावना देखें।
Negative sign और inner derivative को विशेष रूप से check करें।

Time-Saving Approach: पहले function की structure पहचानें:
Power → Power Rule
Addition/Subtraction → Term-wise differentiation
Multiplication → Product Rule
Division → Quotient Rule
Function inside function → Chain Rule

🧠 Master Memory Section

Derivative Rule Map

Constant

c → 0

Power

xⁿ → nxⁿ⁻¹

Sum

u+v → u'+v'

Product

uv → uv'+vu'

Quotient

u/v → (vu'-uv')/v²

Chain

F(g(x)) → F'(g(x))g'(x)

Second Derivative

y' → y''

⚡ Quick Revision

Definition

Derivative = instantaneous rate of change.

Geometry

Derivative = tangent की slope.

Physics

ds/dt = velocity.

Acceleration

d²s/dt² = acceleration.

Product

uv'+vu'

Quotient

(vu'−uv')/v²

Chain

Outer derivative × inner derivative.

Second Derivative

First derivative का derivative.

🏆 FINAL REVISION BOX

🔥 Most Important Concepts

Derivative = instantaneous rate of change.
Derivative = tangent की slope.
Position का derivative = velocity.
Velocity का derivative = acceleration.
Product Rule और Quotient Rule की structure स्पष्ट रखें।
Composite function में Chain Rule सबसे महत्वपूर्ण है।
Second derivative = first derivative का पुनः derivative.

🔥 Top Formulas

d(xⁿ)/dx = nxⁿ⁻¹
(uv)'=uv'+vu'
(u/v)'=(vu'-uv')/v²
F(g(x))'=F'(g(x))g'(x)
y''=d²y/dx²

🔥 Last Minute Points

f'(x)=0 हमेशा maximum/minimum नहीं होता।
Chain Rule में inner derivative न भूलें।
Quotient Rule में denominator का square होता है।
cos x का derivative negative होता है।
Calculation के बाद sign और power दोबारा check करें।

📚 Chapter Summary

Differential Calculus में Differentiation का मुख्य उद्देश्य किसी function के instantaneous change को मापना है। Derivative को algebraically limit से परिभाषित किया जाता है और geometrically इसे tangent की slope के रूप में समझा जाता है। Physics में यही concept position से velocity और velocity से acceleration प्राप्त करने में प्रयोग होता है।

Competitive और technical mathematics में Power Rule, Sum Rule, Product Rule, Quotient Rule और Chain Rule सबसे महत्वपूर्ण operational tools हैं। Second derivative higher-order behavior, acceleration और कई advanced applications में उपयोगी होता है।

Golden Rule: Question देखकर पहले function की structure पहचानें, फिर सही differentiation rule चुनें।

🔎 Source Verification Note

Exam applicability को current/official examination material के संदर्भ में सावधानी से प्रस्तुत किया गया है। जहाँ किसी specific examination में इस exact chapter की applicability notification से निश्चित रूप से स्थापित नहीं की गई, वहाँ “Exam-specific applicability varies” या “Generally not a core direct topic” जैसे शब्दों का उपयोग किया गया है।

Real PYQ की authenticity के लिए Exam + Year + Shift + Paper की पूर्ण पुष्टि आवश्यक है। ऐसी पुष्टि उपलब्ध न होने पर इस page पर प्रश्नों को “PYQ Pattern Based Important Question” के रूप में रखा गया है।

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