ॐ श्री श्याम देवाय नम:
Latest Government Jobs & Updates
Saturday, 17 Oct 2026
Logo
Sarkari Result Education Government Jobs • Results • Admit Card
  • Notifications
  • Notifications देखने के लिए Login करें।
Login Signup
Type to search...

Integral Calculus Notes – Standard Integrals, Substitution & Integration by Parts

Sarkari Result Education • Mathematics Master Notes

Integral Calculus

Integration as Inverse of Differentiation • Standard Integrals • Substitution • Integration by Parts

Basic से Advanced तक Concept + Formula + Solved Examples + Practice

📋 Table of Contents

1. Chapter Introduction 2. Exam Applicability 3. Basic Concepts 4. Important Definitions 5. Standard Integrals 6. Substitution Method 7. Integration by Parts 8. Formula / Rules / Tricks 9. Solved Examples 10. PYQ Section 11. Practice Questions 12. Common Mistakes 13. Exam Strategy 14. Quick Revision 15. Final Revision

1️⃣ Chapter Introduction

Integration क्या है?

Integration, differentiation की inverse process है। यदि differentiation में किसी function का derivative निकाला जाता है, तो integration में ऐसे function को खोजा जाता है जिसका derivative दिया हुआ function हो।

यदि F′(x) = f(x), तो ∫ f(x) dx = F(x) + C

यहाँ C arbitrary constant है।

इस Chapter में क्या पढ़ेंगे?

  • Integration को differentiation के inverse के रूप में समझना।
  • Standard indefinite integrals याद करना और उनका उपयोग करना।
  • Substitution द्वारा कठिन integral को सरल बनाना।
  • Integration by Parts द्वारा product of functions को integrate करना।
  • Formula selection और common traps को समझना।

2️⃣ Exam Applicability

महत्वपूर्ण: Integral Calculus की वास्तविक आवश्यकता परीक्षा के syllabus और post/paper के अनुसार बदलती है। नीचे applicability broad curriculum relevance के आधार पर दी गई है; इसे किसी एक current recruitment notification का exact syllabus न माना जाए।
Exam / Category Relevance Question Pattern Important Areas
UPSC ESE / Engineering-level exams Generally Relevant Direct + application-based calculus Integration, standard forms, substitution, parts
SSC JE Exam-specific applicability varies Technical Mathematics Basic calculus where included in applicable syllabus
RRB JE Exam-specific applicability varies Technical Mathematics Calculus topics according to notified syllabus
Technical / Engineering Recruitment Generally Relevant Concept + calculation Integration techniques
UPSC CSE / General GS exams Generally not a core GS topic Not normally tested as a dedicated calculus chapter Exam-specific syllabus must be checked
SSC CGL / CHSL / MTS Generally not a core topic Routine Quantitative Aptitude rather than integral calculus Current syllabus should be checked
Banking Generally not a core topic Quantitative Aptitude Integral calculus is generally outside routine aptitude scope
Exam-Specific Rule: किसी particular recruitment में Integral Calculus को compulsory मानने से पहले उस परीक्षा की current official notification/syllabus अवश्य देखें।

3️⃣ Basic Concepts

3.1 Differentiation और Integration का संबंध

मान लें:

F(x) = x³

तो differentiation:

F′(x) = 3x²

अब यदि हमें 3x² का integration करना हो:

∫ 3x² dx = x³ + C

इसलिए integration को differentiation की inverse operation समझ सकते हैं।

3.2 Indefinite Integral

जब integration का result किसी constant तक निर्धारित हो, उसे indefinite integral कहते हैं।

∫ f(x) dx = F(x) + C

यहाँ dx बताता है कि integration variable x के respect में हो रहा है।

3.3 Constant क्यों आता है?

क्योंकि किसी constant का derivative zero होता है।

d/dx (x² + 5) = 2x
d/dx (x² - 100) = 2x

इसलिए 2x के अनेक antiderivatives हो सकते हैं:

∫2x dx = x² + C

4️⃣ Important Definitions

Antiderivative

ऐसा function F(x), जिसका derivative f(x) हो, f(x) का antiderivative कहलाता है।

F′(x)=f(x)

Indefinite Integral

किसी function के सभी antiderivatives का family:

∫f(x)dx = F(x)+C

Integrand

जिस expression का integration किया जा रहा है उसे integrand कहते हैं।

∫ x² dx → x² is integrand

Constant of Integration

Indefinite integration के result में आने वाला arbitrary constant C कहलाता है।

5️⃣ Standard Integrals

5.1 Power Rule

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C,   n ≠ −1

अर्थात power में 1 जोड़ें और नए power से divide करें।

∫x⁵ dx = x⁶/6 + C

5.2 Constant

∫k dx = kx + C

5.3 Reciprocal Form

∫ dx/x = ln|x| + C
Trap: n = −1 होने पर power rule directly apply नहीं होता।

5.4 Exponential Integrals

∫eˣ dx = eˣ + C
∫aˣ dx = aˣ/ln(a) + C,   a>0, a≠1

5.5 Trigonometric Integrals

∫sin x dx = −cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫sec²x dx = tan x + C
∫csc²x dx = −cot x + C
∫sec x tan x dx = sec x + C
∫csc x cot x dx = −csc x + C
∫tan x dx = ln|sec x| + C
∫cot x dx = ln|sin x| + C
∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C
∫csc x dx = ln|csc x − cot x| + C

5.6 Important Inverse-Trigonometric Forms

∫ dx/(1+x²) = tan⁻¹x + C
∫ dx/√(1−x²) = sin⁻¹x + C
∫ dx/(a²+x²) = (1/a)tan⁻¹(x/a)+C,   a>0
∫ dx/√(a²−x²) = sin⁻¹(x/a)+C,   a>0

5.7 Linearity Rules

∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫[f(x)−g(x)]dx = ∫f(x)dx − ∫g(x)dx
∫k f(x)dx = k∫f(x)dx

6️⃣ Substitution Method

6.1 Basic Idea

जब integral में कोई function और उसके derivative जैसा factor साथ दिखाई दे, तो substitution बहुत उपयोगी होता है।

u = g(x)

तब:

du = g′(x)dx

Integral को u के terms में बदलकर solve किया जाता है। अंत में u को वापस x में substitute करते हैं।

6.2 Example: ∫2x(x²+1)⁵ dx

मान लें:

u=x²+1

तो:

du=2x dx

अब:

∫2x(x²+1)⁵dx = ∫u⁵du

Power rule:

= u⁶/6 + C

अतः:

∫2x(x²+1)⁵dx = (x²+1)⁶/6 + C

6.3 Definite-style substitution principle

यदि limits भी दिए हों तो substitution के बाद limits को भी बदला जा सकता है। हालांकि इस Chapter का मुख्य focus indefinite integration है।

⚡ पहचानने की Trick: यदि expression में f(g(x)) × g′(x) जैसा structure दिखाई दे, तो substitution check करें।

6.4 More Examples

∫ cos(3x) dx

u=3x, du=3dx

= (1/3)∫cos u du = (1/3)sin u+C = (1/3)sin(3x)+C
∫ dx/(2x+5)

u=2x+5, du=2dx

= (1/2)∫du/u = (1/2)ln|2x+5|+C

7️⃣ Integration by Parts

7.1 Formula

∫u dv = uv − ∫v du

यह technique मुख्यतः दो functions के product के integration में उपयोगी है।

7.2 u कैसे चुनें?

एक सामान्य guideline के रूप में LIATE याद किया जाता है:

Priority Type
L Logarithmic
I Inverse Trigonometric
A Algebraic
T Trigonometric
E Exponential
ध्यान दें: LIATE एक useful selection guideline है, कोई universal mathematical law नहीं। यदि किसी दूसरे choice से integral सरल हो रहा हो तो वह choice भी valid हो सकती है।

7.3 Example: ∫x eˣ dx

Choose:

u=x     dv=eˣdx

अतः:

du=dx,   v=eˣ

Formula:

∫u dv=uv−∫vdu

इसलिए:

∫xeˣdx = xeˣ − ∫eˣdx
= eˣ(x−1)+C

7.4 Example: ∫x sin x dx

u=x,   dv=sin x dx
du=dx,   v=−cos x
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx
= −x cos x + sin x + C

7.5 Example: ∫ln x dx

यह product जैसा स्पष्ट नहीं दिखता, लेकिन इसे:

∫ln x · 1 dx

लिख सकते हैं। Choose:

u=ln x,   dv=dx
du=dx/x,   v=x
∫ln x dx = xln x − ∫x(1/x)dx
= xln x − x + C

8️⃣ ⚡ Formula / Rules / Tricks

Power Rule

Power में 1 जोड़ें → नए power से divide करें।

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C

Special Case

1/x के लिए power rule नहीं।

∫dx/x=ln|x|+C

Substitution

Inside function को u मानें और उसका derivative बाहर ढूँढें।

By Parts

Product में पहले u और फिर dv चुनें।

∫u dv=uv−∫vdu

⚡ Formula Selection Map

Integral का रूप पहली Technique Check करें
xⁿ Power Rule
f(g(x))g′(x) Substitution
दो functions का product Integration by Parts
1/x Logarithmic standard integral
1/(1+x²) tan⁻¹ form
1/√(1−x²) sin⁻¹ form

9️⃣ 📝 Solved Examples

🟢 BASIC

Example 1

∫(3x²+4x−5)dx का मान ज्ञात कीजिए।

Term-by-term integration:

= x³ + 2x² − 5x + C

Answer: x³+2x²−5x+C

Concept: Linearity + Power Rule.

🟢 BASIC

Example 2

∫cos x dx

= sin x + C
🟡 MEDIUM

Example 3

∫(2x+1)⁵ dx

u=2x+1, du=2dx

= (1/2)∫u⁵du = u⁶/12+C
Answer = (2x+1)⁶/12+C
🟡 MEDIUM

Example 4

∫ x/(x²+1) dx

u=x²+1, du=2x dx

= (1/2)∫du/u = (1/2)ln(x²+1)+C

क्योंकि x²+1 हमेशा positive है, यहाँ absolute value की आवश्यकता नहीं है; सामान्य logarithmic form में |x²+1| भी लिखा जा सकता है।

🟠 HARD

Example 5

∫x cos x dx

By parts:

u=x, dv=cos x dx
du=dx, v=sin x
∫xcos x dx=xsin x−∫sin x dx
=xsin x+cos x+C
🔴 ADVANCED

Example 6

∫x²eˣ dx

पहली बार by parts:

u=x², dv=eˣdx
=x²eˣ−∫2xeˣdx

अब ∫xeˣdx पर फिर by parts:

∫xeˣdx=xeˣ−eˣ

अतः:

∫x²eˣdx =x²eˣ−2(xeˣ−eˣ)+C
=eˣ(x²−2x+2)+C

🔟 🔥 PYQ Section

PYQ Authenticity Note: इस chapter के लिए किसी specific question को real PYQ के रूप में प्रस्तुत करने हेतु exam, year, paper/shift और विश्वसनीय source की पुष्टि आवश्यक है। उपलब्ध सत्यापन के बिना नीचे कोई प्रश्न "Real PYQ" के रूप में claim नहीं किया जा रहा है।

PYQ Pattern Based Important Question 1

निम्नलिखित में से ∫xⁿ dx का सही general result कौन-सा है?

A) xⁿ/(n+1)+C
B) xⁿ⁺¹/(n+1)+C
C) (n+1)xⁿ+C
D) xⁿ⁻¹/n+C
Correct Answer: B
Condition: n ≠ −1.

PYQ Pattern Based Important Question 2

∫dx/x का मान क्या है?

A) x²/2+C
B) 1/x+C
C) ln|x|+C
D) eˣ+C
Correct Answer: C

PYQ Pattern Based Important Question 3

∫x eˣ dx का result क्या है?

A) xeˣ+C
B) eˣ(x−1)+C
C) eˣ(x+1)+C
D) x²eˣ+C
Correct Answer: B

1️⃣1️⃣ 🎯 Practice Questions

🟢 BASIC

Q1. ∫4x³ dx = ?

A) x⁴+C
B) 4x⁴+C
C) x³+C
D) 12x²+C
🟢 BASIC

Q2. ∫sin x dx = ?

A) cos x+C
B) −cos x+C
C) sin x+C
D) −sin x+C
🟡 MEDIUM

Q3. ∫(3x+2)⁴ dx = ?

A) (3x+2)⁵/5+C
B) (3x+2)⁵/15+C
C) 3(3x+2)⁵/5+C
D) (3x+2)⁴/12+C
🟡 MEDIUM

Q4. ∫x/(x²+4) dx = ?

A) ln(x²+4)+C
B) 1/2 ln(x²+4)+C
C) 2ln(x²+4)+C
D) tan⁻¹x+C
🟠 HARD

Q5. ∫x sin x dx = ?

A) xcos x−sin x+C
B) −xcos x+sin x+C
C) xsin x+C
D) −xsin x+C
🔴 ADVANCED

Q6. ∫x²eˣ dx = ?

A) eˣ(x²−2x+2)+C
B) eˣ(x²+2x+2)+C
C) x²eˣ+C
D) eˣ(x²−x+1)+C

Answer Key

Q1 — A

Q2 — B

Q3 — B

Q4 — B

Q5 — B

Q6 — A

Detailed Solutions

Q1: ∫4x³dx = 4×x⁴/4 = x⁴+C.

Q2: derivative of cos x is −sin x, इसलिए ∫sin xdx=−cos x+C.

Q3: u=3x+2, du=3dx. इसलिए result = (3x+2)⁵/15+C.

Q4: u=x²+4, du=2xdx. Result = 1/2 ln(x²+4)+C.

Q5: By parts: u=x, dv=sin xdx. Result = −xcos x+sin x+C.

Q6: दो बार integration by parts करने पर eˣ(x²−2x+2)+C प्राप्त होता है।

1️⃣2️⃣ 🧠 Concept-Based Questions

Question 1 — Why?

यदि दो functions का derivative समान हो, तो उनके antiderivatives के बीच क्या संबंध होगा?

Answer: उनके antiderivatives का difference एक constant होगा।

Question 2 — Trap Concept

क्या ∫x⁻¹dx के लिए power rule लगा सकते हैं?

नहीं। क्योंकि power rule में n≠−1 होना आवश्यक है। यहाँ result ln|x|+C है।

Question 3 — Technique Selection

∫(2x+1)⁷dx में पहले कौन-सी technique check करनी चाहिए?

Substitution. u=2x+1.

Question 4 — Technique Selection

∫x ln x dx में कौन-सी method अधिक natural है?

Integration by Parts.

1️⃣3️⃣ ⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं

❌ ∫xⁿdx में हमेशा power rule लगाना।

✅ n=−1 होने पर अलग logarithmic formula लगाएं।

❌ Integration में +C भूल जाना।

✅ Indefinite integral में arbitrary constant C शामिल करें।

❌ Substitution के बाद dx का conversion भूल जाना।

✅ u के साथ पूरा differential बदलें।

❌ By Parts formula में sign बदल देना।

✅ ∫u dv = uv − ∫v du.

❌ LIATE को absolute law मानना।

✅ इसे selection guideline की तरह उपयोग करें।

1️⃣4️⃣ 🚀 Exam Strategy

Step 1 — Form पहचानें

पहले देखें कि integral standard form, substitution form या product form है।

Step 2 — Standard Formula

यदि सीधे standard integral बन रहा है तो सबसे तेज method वही है।

Step 3 — Substitution Check

Inside function और उसका derivative साथ दिखे तो substitution आजमाएं।

Step 4 — By Parts

दो functions के product में by-parts पर विचार करें।

⏱️ Time-Saving Rule: पहले integral की structure पहचानें। बिना structure पहचाने लंबी calculation शुरू करने से समय और accuracy दोनों प्रभावित हो सकते हैं।
Guessing सावधानी: Negative marking वाली परीक्षा में blind guessing से बचें। Exact marking scheme हमेशा संबंधित current official notification से verify करें।

1️⃣5️⃣ ⚡ Quick Revision

Top Formulas

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠−1
∫dx/x=ln|x|+C
∫eˣdx=eˣ+C
∫aˣdx=aˣ/ln(a)+C
∫sin xdx=−cos x+C
∫cos xdx=sin x+C
∫sec²xdx=tan x+C
∫dx/(1+x²)=tan⁻¹x+C
∫dx/√(1−x²)=sin⁻¹x+C
∫u dv=uv−∫vdu

Top Concepts

  • Integration = inverse process of differentiation.
  • Indefinite integral में +C आवश्यक है।
  • Power rule में n≠−1.
  • Composite function + derivative pattern → substitution.
  • Product of functions → integration by parts पर विचार करें।

🧠 Master Memory Section

Substitution Memory

Inside को u → derivative को du → integral simplify → वापस x.

By Parts Memory

u dv → uv − ∫v du

Selection के लिए LIATE guideline याद रख सकते हैं:

Log → Inverse Trig → Algebraic → Trig → Exponential

Standard Integral Memory

Form Result
xⁿ xⁿ⁺¹/(n+1)+C
1/x ln|x|+C
eˣ eˣ+C
sin x −cos x+C
cos x sin x+C

📊 Comparison Table

Method कब उपयोग करें? Main Idea
Standard Formula जब integral सीधे known form में हो Formula apply करें
Substitution Composite function pattern u = अंदर का function
Integration by Parts Product of functions ∫u dv = uv−∫vdu

🏆 FINAL REVISION BOX

🔥 Most Important Concepts

  • Integration differentiation की inverse operation है।
  • Indefinite integral के साथ C जोड़ना न भूलें।
  • Power rule: n≠−1.
  • ∫dx/x = ln|x|+C.
  • Composite expressions में substitution check करें।
  • Products में integration by parts check करें।

🔥 Top Formulas

  • ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C
  • ∫eˣdx=eˣ+C
  • ∫sin xdx=−cos x+C
  • ∫cos xdx=sin x+C
  • ∫u dv=uv−∫vdu

⚠️ Last Minute Traps

  • n=−1 के लिए power rule नहीं।
  • By Parts में minus sign न भूलें।
  • Substitution में differential conversion पूरा करें।
  • हर indefinite integration के result को differentiation करके verify किया जा सकता है।
✅ Final Verification Method: अपने integration answer का derivative निकालें। यदि original integrand वापस मिल जाता है, तो antiderivative सही है।

📌 Chapter Summary

Integral Calculus में सबसे पहले integration को differentiation की inverse प्रक्रिया के रूप में समझना आवश्यक है। इसके बाद standard integrals की पहचान, substitution और integration by parts प्रमुख techniques हैं। परीक्षा में speed के लिए केवल formula याद करना पर्याप्त नहीं है; integral का structure पहचानना सबसे महत्वपूर्ण skill है।

Share this post with your friends:
WhatsApp Telegram