Matrices and Determinants Notes for Govt Exams

Sarkari Result Education • Mathematics Master Notes

Matrices एवं Determinants

Determinant • Properties • Adjoint • Inverse • Cramer’s Rule

Basic → Intermediate → Advanced → Exam Level → Revision

Chapter Focus

Matrix, Determinant, Minor, Cofactor, Adjoint, Inverse तथा Linear Equations के Matrix आधारित समाधान।

📚 Table of Contents

1. Chapter Introduction 2. Exam Applicability 3. Basic Concepts 4. Important Definitions 5. Complete Concepts 6. Determinant Properties 7. Adjoint 8. Inverse 9. Cramer’s Rule 10. Formula / Rules / Tricks 11. Solved Examples 12. PYQ Section 13. Practice Questions 14. Common Mistakes 15. Exam Strategy 16. Quick Revision 17. Final Revision Box

1️⃣ Chapter Introduction

Matrix क्या है?

संख्याओं, प्रतीकों या expressions को rows और columns के रूप में आयताकार व्यवस्था में लिखने को Matrix (आव्यूह) कहते हैं।

A = [ a_ij ]_m×n

यहाँ m = rows की संख्या और n = columns की संख्या है। इसलिए matrix का order m × n होगा।

Determinant क्या है?

Determinant एक square matrix से संबंधित एक निश्चित scalar value है। इसे सामान्यतः |A| या det(A) से दर्शाते हैं।

मुख्य विचार:

Determinant केवल square matrix के लिए परिभाषित किया जाता है।

🎯 Competitive Exam Use:

इस chapter में विशेष रूप से determinant की calculation, properties, adjoint, inverse और simultaneous linear equations का matrix method महत्वपूर्ण हैं। UPSC की NDA/NA Mathematics syllabus में Matrices and Determinants के अंतर्गत determinant, properties, adjoint, inverse और Cramer’s rule/matrix method स्पष्ट रूप से शामिल हैं। 0

2️⃣ Exam Applicability

नीचे की mapping syllabus/paper availability और विषय की प्रकृति पर आधारित है। इसे सभी भर्ती परीक्षाओं के लिए universal compulsory-topic claim नहीं माना जाना चाहिए।

Exam Category	Applicability	Question Pattern	Important Areas
UPSC NDA/NA	Directly Relevant	Objective Mathematics	Matrix, Determinant, Properties, Adjoint, Inverse, Cramer Rule
UPSC CDS	Exam-specific	Elementary Mathematics syllabus के अनुसार	Current notification/syllabus से verify करें
UPSC ESE	Engineering-stream dependent	Engineering Mathematics/discipline context	Matrix methods, linear algebra applications आदि, संबंधित paper पर निर्भर
SSC	Exam-specific applicability varies	Post/exam syllabus dependent	इस chapter को SSC के प्रत्येक exam के लिए automatically applicable न मानें
Railway	Exam-specific applicability varies	Post-wise syllabus dependent	Technical examinations में mathematics/engineering syllabus अलग हो सकता है
Banking	Generally not a standard direct topic	Quantitative Aptitude oriented	Routine banking quant में determinant/adjoint/inverse को direct syllabus topic न मानें
Defence	Exam-specific	Written Mathematics syllabus dependent	NDA/NA में direct relevance documented है
CAPF	Exam-specific	General Ability/Intelligence oriented	Direct matrix syllabus notification से verify करें
Technical/Engineering Exams	Generally Relevant	Technical Mathematics/Engineering Mathematics	Determinant, inverse, linear equations, matrix operations
State Technical Exams	Exam-specific	Technical syllabus dependent	AE/JE/technical notification देखें
Teaching/Higher Mathematics	Generally Relevant where Mathematics syllabus exists	Conceptual + numerical	Matrix algebra and determinants

Official verification note: UPSC की official previous-question-paper listing में NDA/NA Mathematics papers उपलब्ध हैं और UPSC के NDA syllabus document में Matrices and Determinants का explicit syllabus दिया गया है। 1

3️⃣ Basic Concepts — Zero Level से

3.1 Row और Column

A =

2	4	6
1	3	5

ऊपर की matrix में 2 rows और 3 columns हैं। इसलिए इसका order 2 × 3 है।

3.2 Matrix का Order

Order = Number of Rows × Number of Columns

यदि किसी matrix में 3 rows और 4 columns हैं तो उसका order 3 × 4 होगा।

3.3 Matrix के प्रमुख प्रकार

Type	अर्थ	उदाहरण
Row Matrix	केवल एक row	[ 2 4 6 ]
Column Matrix	केवल एक column	[2; 4; 6]
Square Matrix	Rows = Columns	2×2, 3×3 आदि
Zero Matrix	सभी elements zero	[0 0; 0 0]
Diagonal Matrix	Principal diagonal के बाहर elements zero	[2 0; 0 5]
Scalar Matrix	Diagonal elements समान	[3 0; 0 3]
Identity Matrix	Diagonal = 1, बाकी = 0	[1 0; 0 1]
Upper Triangular	Principal diagonal के नीचे zero	ऊपर के elements arbitrary
Lower Triangular	Principal diagonal के ऊपर zero	नीचे के elements arbitrary

3.4 Matrix Equality

दो matrices तभी equal होंगी जब:

उनका order समान हो।
Corresponding elements समान हों।

यदि A = [a_ij] और B = [b_ij], तो A = B ⇔ a_ij = b_ij प्रत्येक corresponding position के लिए।

3.5 Matrix Addition

Addition तभी possible है जब दोनों matrices का order समान हो।

A = [1 2; 3 4], B = [5 6; 7 8]

A+B = [6 8; 10 12]

3.6 Matrix Multiplication

यदि A का order m×n और B का order n×p है, तभी AB defined होगा और उसका order m×p होगा।

⚠️ Trap Point: सामान्यतः matrix multiplication commutative नहीं है। अर्थात AB ≠ BA सामान्य स्थिति में।

4️⃣ Important Definitions

Minor

किसी element a_ij का minor M_ij उस element की row और column हटाने के बाद बची matrix के determinant को कहते हैं।

Cofactor

C_ij = (-1)^i+jM_ij

Singular Matrix

Square matrix A को singular कहते हैं यदि:

|A| = 0

Non-Singular Matrix

यदि:

|A| ≠ 0

तो matrix non-singular कहलाती है।

Transpose

Rows को columns और columns को rows में बदलने पर transpose मिलता है।

A^T

Adjoint

adj(A) = [C_ji]

अर्थात cofactor matrix का transpose adjoint कहलाता है।

5️⃣ Complete Concepts

5.1 Determinant of a 2×2 Matrix

A = | a b |
| c d |

|A| = ad − bc

🔥 Exam Point: 2×2 determinant में मुख्य diagonal का product minus दूसरी diagonal का product किया जाता है।

5.2 Determinant of a 3×3 Matrix

| a b c |
| d e f |
| g h i |

First row के cofactors द्वारा expansion:

D = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

⚠️ Sign Pattern: First row expansion में signs: + − +

5.3 Cofactor Sign Pattern

+ − +
− + −
+ − +

🧠 Memory Trick: 3×3 cofactor signs को checkerboard की तरह याद करें: Plus से शुरुआत → alternate −/+

5.4 Determinant by Cofactor Expansion

यदि A = [a_ij] है तो किसी row i के along:

|A| = a_i1C_i1 + a_i2C_i2 + ... + a_inC_in

इसी प्रकार किसी column के along भी expansion किया जा सकता है।

⚡ Calculation Trick: जिस row/column में अधिक zeros हों, उसी row/column से expansion करना calculation को छोटा कर सकता है।

5.5 Determinant की Important Properties

यदि determinant की दो rows/columns समान हों, तो determinant = 0.
यदि दो rows/columns interchange करें, determinant का sign बदल जाता है।
यदि किसी row/column के सभी elements zero हों, determinant = 0.
किसी row/column के सभी elements को k से multiply करने पर determinant भी k से multiply होता है।
एक row/column में दूसरी row/column का multiple जोड़ने पर determinant unchanged रहता है।
Triangular matrix का determinant principal diagonal elements के product के बराबर होता है।
|AB| = |A||B|, जब A और B compatible square matrices हों।
|A^T| = |A|.
|kA| = kⁿ|A| for an n×n matrix.

⚠️ Important: Property को लागू करते समय यह ध्यान रखें कि पूरी row/column को multiply करने और केवल एक element को multiply करने का परिणाम अलग होता है।

5.6 Determinant और Zero

यदि |A| = 0 ⇒ A singular

यदि |A| ≠ 0 ⇒ A non-singular

Inverse के अस्तित्व के लिए square matrix का determinant non-zero होना आवश्यक है।

5.7 Matrix Transpose

A = [1 2 3; 4 5 6]

A^T = [1 4; 2 5; 3 6]

(A+B)^T = A^T + B^T

(AB)^T = B^TA^T

7️⃣ Adjoint of a Matrix

Adjoint निकालने की प्रक्रिया

Matrix के प्रत्येक element का minor निकालें।
Cofactor formula C_ij = (−1)^i+jM_ij लगाएँ।
पूरी cofactor matrix बनाएँ।
उस cofactor matrix का transpose लें।
प्राप्त matrix = adj(A).

adj(A) = (Cofactor Matrix)^T

2×2 Matrix का Adjoint

A = [a b; c d]

adj(A) = [d −b; −c a]

⚡ Fast Trick: 2×2 matrix में diagonal elements a और d को interchange करें तथा off-diagonal b और c के signs बदलें।

Fundamental Identity

A · adj(A) = adj(A) · A = |A|I

यही identity inverse formula को समझने का आधार है।

8️⃣ Inverse of a Matrix

Inverse कब exist करता है?

A⁻¹ exists ⇔ |A| ≠ 0

यदि determinant zero है, तो square matrix का ordinary inverse exist नहीं करता।

Inverse का मुख्य Formula

A⁻¹ = 1/|A| × adj(A)

2×2 Matrix का Direct Formula

A = [a b; c d]

A⁻¹ = 1/(ad−bc) [d −b; −c a]

⚠️ Condition: ad − bc ≠ 0 होना चाहिए।

Inverse की Verification

AA⁻¹ = A⁻¹A = I

यदि प्राप्त inverse सही है तो multiplication करने पर identity matrix प्राप्त होनी चाहिए।

9️⃣ Cramer’s Rule

दो Variables के Linear Equations

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

मुख्य determinant:

D = | a₁ b₁ |
| a₂ b₂ |

x = D_x/D

y = D_y/D

⚠️ Cramer Rule में: पहले D निकालना जरूरी है। यदि D = 0 है तो सामान्य unique solution वाला formula सीधे लागू नहीं किया जा सकता।

तीन Variables का Standard Form

a₁x+b₁y+c₁z=d₁
a₂x+b₂y+c₂z=d₂
a₃x+b₃y+c₃z=d₃

x = D_x/D, y = D_y/D, z = D_z/D

Matrix Method

AX = B

यदि A invertible है, तो:

X = A⁻¹B

🔥 Exam Point: NDA syllabus में two या three unknowns के system को Cramer’s Rule और Matrix Method से solve करना explicitly शामिल है। 2

⚡ Formula / Rules / Tricks

2×2 Determinant

|a b; c d| = ad − bc

Inverse

A⁻¹ = adj(A)/|A|

Singular

|A| = 0

Non-Singular

|A| ≠ 0

Adjoint Identity

A adj(A) = |A|I

Transpose Determinant

|A^T| = |A|

Product

|AB| = |A||B|

Sign Pattern

+ − + / − + − / + − +

🧠 Memory Code:
MINOR → COFACTOR → COFACTOR MATRIX → TRANSPOSE → ADJOINT → DIVIDE BY DETERMINANT → INVERSE

📝 Solved Examples

🟢 BASIC

Example 1: 2×2 Determinant

यदि A = [2 3; 4 5], तो |A| ज्ञात कीजिए।

Solution:
|A| = (2)(5) − (3)(4)
= 10 − 12
= −2

Answer: −2

🟡 MEDIUM

Example 2: Singularity

A = [3 6; 1 2] singular है या non-singular?

|A| = 3×2 − 6×1 = 6−6 = 0

इसलिए A singular matrix है।

🟡 MEDIUM

Example 3: Inverse

A = [2 1; 1 1] का inverse ज्ञात कीजिए।

|A| = 2×1 − 1×1 = 1

adj(A) = [1 −1; −1 2]

अतः:
A⁻¹ = [1 −1; −1 2]

Answer: A⁻¹ = [1 −1; −1 2]

🟠 HARD

Example 4: Cramer’s Rule

हल कीजिए:

x + y = 5
2x − y = 1

D = |1 1; 2 −1| = −1 − 2 = −3

D_x = |5 1; 1 −1| = −5 − 1 = −6

x = D_x/D = (−6)/(−3) = 2

D_y = |1 5; 2 1| = 1 − 10 = −9

y = D_y/D = (−9)/(−3) = 3

Answer: x = 2, y = 3

🔴 ADVANCED

Example 5: Determinant Property

यदि किसी determinant की दो rows identical हैं, तो उसका value क्या होगा?

Identical rows को interchange करने पर determinant वही रहता है, लेकिन row interchange determinant का sign बदल देता है। इसलिए:

D = −D
⇒ 2D = 0
⇒ D = 0

🔥 PYQ Section

PYQ Authenticity Notice: इस chapter में बिना question-paper/official source verification के किसी प्रश्न को वास्तविक PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा रहा है। इसलिए नीचे दिए गए प्रश्नों को PYQ Pattern Based Important Question के रूप में रखा गया है।

PYQ Pattern Based Important Question

Question 1

यदि A एक square matrix है और |A| = 0, तो A कैसी matrix होगी?

A) Identity

B) Singular

C) Non-singular

D) Scalar

Correct Answer: B) Singular

क्योंकि square matrix singular होने की condition |A| = 0 है।

PYQ Pattern Based Important Question

Question 2

यदि A एक n×n matrix है, तो |A^T| का मान क्या होगा?

A) −|A|

B) |A|²

C) |A|

D) 0

Correct Answer: C) |A|

Determinant transpose लेने पर unchanged रहता है: |A^T| = |A|.

PYQ Pattern Based Important Question

Question 3

A⁻¹ के अस्तित्व के लिए निम्न में से कौन-सी condition आवश्यक है?

A) |A| = 0

B) |A| ≠ 0

C) A rectangular हो

D) सभी elements समान हों

Correct Answer: B) |A| ≠ 0

🎯 Practice Questions

🟢 BASIC

Q1.

Matrix [1 2 3; 4 5 6] का order क्या है?

A) 2×2

B) 2×3

C) 3×2

D) 3×3

🟢 BASIC

Q2.

|3 4; 2 5| का मान क्या है?

A) 7

B) 8

C) 15

D) 23

🟡 MEDIUM

Q3.

यदि |A| = 5 और |B| = 3, तो |AB| क्या होगा?

A) 2

B) 8

C) 15

D) 125

🟡 MEDIUM

Q4.

यदि A 3×3 matrix है और |A| = 2, तो |2A| कितना होगा?

A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

🟠 HARD

Q5.

यदि A एक 2×2 matrix है और |A| = 4, तो |A⁻¹| क्या होगा?

A) 4

B) −4

C) 1/4

D) 0

🔴 ADVANCED

Q6.

यदि A एक invertible n×n matrix है, तो |A·A⁻¹| का मान क्या होगा?

A) 0

B) 1

C) |A|

D) n

🔴 ADVANCED

Q7.

यदि A एक 3×3 matrix है तथा उसकी दो rows proportional हैं, तो |A| के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?

A) |A| = 1

B) |A| = −1

C) |A| = 0

D) निश्चित नहीं

🔴 ADVANCED

Q8.

यदि A 3×3 matrix है और |A| = 2, तो |A^T| का मान क्या होगा?

A) −2

B) 1/2

C) 2

D) 6

# Answer Key

Question	Answer	Verification
Q1	B	2 rows, 3 columns → 2×3
Q2	A	3×5 − 4×2 = 7
Q3	C	\|AB\| = \|A\|\|B\| = 5×3 = 15
Q4	C	\|2A\| = 2³\|A\| = 8×2 = 16
Q5	C	\|A⁻¹\| = 1/\|A\| = 1/4
Q6	B	AA⁻¹ = I और \|I\| = 1
Q7	C	Proportional rows ⇒ determinant zero
Q8	C	\|A^T\| = \|A\| = 2

# Detailed Solutions

Q4 Verification

A 3×3 matrix के प्रत्येक element को 2 से multiply करने पर determinant 2³ से multiply होता है।

|2A| = 2³|A| = 8×2 = 16

इसलिए सही उत्तर 16 है।

Q5 Verification

|A⁻¹| = 1/|A|

इसलिए यदि |A| = 4:

|A⁻¹| = 1/4

Q7 Verification

Determinant में यदि दो rows proportional हों तो rows linearly dependent होती हैं और determinant का मान zero होता है।

🧠 Concept Based Questions

🟡 MEDIUM

Statement: यदि A और B square matrices हैं तथा AB = I, तो क्या A और B एक-दूसरे के inverse हो सकते हैं?

हाँ, उपयुक्त square/invertible स्थिति में: B = A⁻¹ और A = B⁻¹.

🟠 HARD

यदि determinant की एक पूरी row को 0 से multiply कर दिया जाए, तो determinant पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

पूरी row zero हो जाएगी, इसलिए determinant = 0.

🔴 ADVANCED

क्या AB = BA हर दो square matrices के लिए आवश्यक है?

नहीं। Matrix multiplication सामान्यतः commutative नहीं है।

⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं

❌ गलत: किसी भी rectangular matrix का determinant निकालना।

✅ सही: Ordinary determinant केवल square matrix के लिए होता है।

❌ गलत: 2×2 determinant को ad + bc करना।

✅ सही: ad − bc.

❌ गलत: adj(A) को केवल cofactor matrix मानना।

✅ सही: adj(A) = cofactor matrix का transpose.

❌ गलत: |A| = 0 होने पर inverse निकालना।

✅ सही: Inverse के लिए |A| ≠ 0 आवश्यक है।

❌ गलत: AB = BA हमेशा मान लेना।

✅ सही: Matrix multiplication generally non-commutative है।

❌ गलत: Cofactor signs को भूल जाना।

✅ सही: + − + / − + − / + − + pattern याद रखें।

🚀 Exam Strategy

Question देखते ही यह क्रम अपनाएँ

Matrix का order पहचानें।
पूछा गया operation पहचानें।
यदि determinant है तो zero rows/columns और properties पहले देखें।
2×2 में direct formula लगाएँ।
3×3 में zero वाली row/column से expansion करें।
Inverse में सबसे पहले determinant check करें।
Cramer Rule में D, फिर D_x, D_y, D_z निकालें।
Final answer को substitution/matrix multiplication से verify करें जहाँ practical हो।

⏱️ Time Management

Direct formula वाले प्रश्न पहले करें।
Determinant properties वाले प्रश्नों में calculation से पहले property check करें।
लंबे cofactor expansion से पहले zeros खोजें।
Inverse निकालने से पहले determinant zero है या नहीं देखें।
यदि calculation बहुत लंबी हो रही है तो alternate determinant property खोजें।

Guessing Warning: Negative marking वाले किसी exam में blind guessing से बचें। Exact marking scheme हमेशा संबंधित current official notification से verify करें।

⚡ Quick Revision

Top Formulas

|a b; c d| = ad − bc

A⁻¹ = adj(A)/|A|

A adj(A) = |A|I

|AB| = |A||B|

|A^T| = |A|

Top Rules

Identical rows → determinant 0
Proportional rows → determinant 0
Zero row → determinant 0
Row interchange → sign changes
Row addition of multiple of another row → determinant unchanged
|A| ≠ 0 → inverse exists

Top Tricks

3×3 signs: + − + / − + − / + − +
Expansion के लिए zero-rich row/column चुनें।
2×2 inverse में diagonal swap और off-diagonal signs change करें।
Calculation से पहले determinant properties देखें।

Key Concepts

Minor
Cofactor
Adjoint
Inverse
Singular / Non-singular
Cramer Rule
Matrix Method

📊 Important Comparison Tables

Concept	Condition / Formula	Key Point
Singular Matrix	\|A\| = 0	Ordinary inverse नहीं
Non-Singular Matrix	\|A\| ≠ 0	Inverse exists
Adjoint	Transpose of cofactor matrix	Inverse में उपयोग
Inverse	adj(A)/\|A\|	\|A\| ≠ 0 आवश्यक
Determinant	Square matrix	Scalar value

🏆 FINAL REVISION BOX

🔥 Last Minute Matrix Checklist

1. Matrix: Rows × Columns = Order

2. Determinant: केवल square matrix के लिए।

3. 2×2 Determinant: ad − bc

4. Cofactor: C_ij = (−1)^i+jM_ij

5. Adjoint: Cofactor Matrix का Transpose

6. Inverse: A⁻¹ = adj(A)/|A|

7. Inverse Condition: |A| ≠ 0

8. Singular: |A| = 0

9. Determinant Product: |AB| = |A||B|

10. Transpose: |A^T| = |A|

11. Adjoint Identity: A adj(A) = |A|I

12. Cramer: x = D_x/D, y = D_y/D, z = D_z/D

13. Matrix Method: AX = B ⇒ X = A⁻¹B, जब A invertible हो।

🧠 MASTER MEMORY CHAIN
Matrix → Determinant → Minor → Cofactor → Adjoint → Inverse → Cramer/Matrix Method

📌 Official-source reminder: UPSC के official records में NDA/NA Mathematics question papers उपलब्ध हैं, और NDA syllabus में Matrices and Determinants के अंतर्गत types/operations, determinant properties, adjoint, inverse तथा Cramer’s Rule/Matrix Method explicitly listed हैं। 3

📌 Chapter Summary

Matrices एवं Determinants chapter में matrix representation से शुरू करके determinant calculation, determinant properties, minors, cofactors, adjoint और inverse तक की पूरी chain समझना आवश्यक है।

विशेष रूप से |A| = 0 और |A| ≠ 0 का अंतर, 2×2 inverse formula, cofactor sign pattern, A adj(A) = |A|I, तथा X = A⁻¹B जैसे सूत्रों को अच्छी तरह याद रखें।

वास्तविक PYQ और current exam applicability के लिए संबंधित परीक्षा की नवीनतम official notification तथा official question paper को प्राथमिक source मानें।

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