🔢 विभाज्यता (Divisibility) — संख्या पद्धति
SUBJECT: Mathematics
CHAPTER: संख्या पद्धति (Number System)
TOPIC: विभाज्यता के नियम, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 आदि से विभाज्यता तथा शेषफल आधारित प्रश्न
यह Master Notes संख्या पद्धति के अंतर्गत विभाज्यता को Basic से Advanced स्तर तक समझाता है। इसमें विभाज्यता की परिभाषा, प्रमुख नियम, संयुक्त भाजकों के नियम, शेषफल की मूल अवधारणा, अंकों पर आधारित प्रश्न, परीक्षा-उपयोगी Tricks, Solved Examples, Practice और Revision शामिल हैं।
📚 Table of Contents
1. 📘 Chapter Overview
विभाज्यता क्या है?
यदि किसी पूर्ण संख्या a को किसी धनात्मक पूर्ण संख्या b से भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त हो, तो कहा जाता है कि a, b से विभाज्य है।
यदि a ÷ b में शेषफल = 0
तो a, b से विभाज्य है।
इस Topic के मुख्य भाग
- विभाज्यता की मूल अवधारणा
- 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 से विभाज्यता
- 12, 15, 18, 20, 25, 50, 100 आदि से विभाज्यता
- एक साथ दो या अधिक विभाज्यता शर्तें
- अंकों में परिवर्तन करके संख्या को विभाज्य बनाना
- अज्ञात अंक ज्ञात करना
- शेषफल आधारित प्रश्न
- Division Algorithm
- Modulo की मूल अवधारणा
- भाजक और गुणज से संबंधित संयुक्त प्रश्न
2. 🎯 Exam Applicability Map
नीचे की तालिका में उन प्रमुख परीक्षा-परिवारों को रखा गया है जिनके official syllabus में Number System/Mathematics/Quantitative Aptitude/Elementary Mathematics जैसे घटक मौजूद हैं। किसी विशिष्ट परीक्षा में “विभाज्यता” नाम से अलग heading होना आवश्यक नहीं है।
| Exam Category | Exam / Group | Relevance | Official Syllabus Evidence | Typical Level | Question Pattern |
|---|---|---|---|---|---|
| SSC | CGL | 🟢 Direct | Quantitative Aptitude में Number System / arithmetic coverage | Basic–Medium | Divisibility, remainder, number properties, arithmetic |
| SSC | CHSL | 🟢 Direct | Official syllabus में Number Systems तथा fundamental arithmetic operations | Basic–Medium | Number properties और arithmetic-based MCQ |
| Railway | RRB NTPC | 🟢 Direct | Official Mathematics syllabus में Number System | Basic–Medium | Number System, LCM/HCF और related arithmetic |
| UPSC Defence | CDS | 🟢 Direct | Elementary Mathematics में Elementary Number Theory के अंतर्गत divisibility tests स्पष्ट रूप से दिए गए हैं | Medium | Divisibility tests, factors, multiples, HCF/LCM |
| UPSC Defence | NDA/NA | Mathematics में arithmetic/number-system related coverage; exact subtopic को संबंधित notification से verify करें | Medium–Advanced | Number properties और mathematical reasoning | |
| Banking | SBI/IBPS Quantitative Aptitude | Official recruitment structures में Quantitative Aptitude section; chapter-level divisibility list हर notification में अलग से आवश्यक नहीं | Basic–Advanced | Arithmetic, number properties, simplification/remainder type problems | |
| State/Police/Other Aptitude Exams | Exam-specific | Exact relevance संबंधित notification/syllabus पर निर्भर | Basic–Medium | Number System और elementary arithmetic |
3. 🧠 Basic Concepts
3.1 भाजक (Divisor)
वह संख्या जिससे किसी संख्या को पूरा-पूरा भाग दिया जा सके, भाजक कहलाती है।
उदाहरण: 24 के भाजक हैं — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
3.2 गुणज (Multiple)
किसी संख्या को 1, 2, 3, 4, ... से गुणा करने पर प्राप्त संख्याएँ उसके गुणज कहलाती हैं।
8 के गुणज: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
3.3 विभाज्य और भाजक का संबंध
यदि 36 ÷ 9 = 4, तो 36, 9 से विभाज्य है और 9, 36 का भाजक है।
3.4 शेषफल
जब कोई संख्या किसी दूसरी संख्या से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, तो भाग देने के बाद बची हुई संख्या शेषफल कहलाती है।
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
अर्थात्:
N = dq + r
जहाँ 0 ≤ r < d
4. 📖 Important Definitions
| Term | अर्थ | उदाहरण |
|---|---|---|
| भाज्य (Dividend) | जिस संख्या को विभाजित किया जाए | 48 ÷ 6 में 48 |
| भाजक (Divisor) | जिससे भाग दिया जाए | 48 ÷ 6 में 6 |
| भागफल (Quotient) | भाग देने पर प्राप्त पूर्ण भाग | 48 ÷ 6 = 8 में 8 |
| शेषफल (Remainder) | भाग देने के बाद बची संख्या | 50 ÷ 6 में 2 |
| गुणज (Multiple) | किसी संख्या के पूर्णांक गुणन से प्राप्त संख्या | 5, 10, 15... |
| विभाज्य (Divisible) | शेषफल 0 आने की स्थिति | 42, 7 से विभाज्य है |
| अभाज्य संख्या | जिसके केवल 1 और स्वयं के दो धनात्मक भाजक हों | 2, 3, 5, 7 |
| संयुक्त संख्या | जिसके दो से अधिक धनात्मक भाजक हों | 4, 6, 8, 9 |
5. 📚 Complete Concepts
5.1 किसी संख्या की विभाज्यता पहचानना
यदि संख्या सीधे किसी भाजक से विभाजित हो जाए और शेषफल 0 आए, तो वह संख्या उस भाजक से विभाज्य है। लेकिन Competitive Exams में बड़ी संख्या होने पर सीधे division करना समय लेने वाला हो सकता है। इसीलिए Divisibility Rules उपयोग किए जाते हैं।
5.2 संयुक्त भाजक
यदि किसी संख्या को 6 से विभाज्य सिद्ध करना हो, तो क्योंकि:
संख्या का 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना पर्याप्त है। इसी प्रकार:
- 12 = 3 × 4
- 18 = 2 × 9
- 15 = 3 × 5
- 20 = 4 × 5
- 24 = 3 × 8
- 30 = 2 × 3 × 5
5.3 अज्ञात अंक वाले प्रश्न
उदाहरण: 45x को 9 से विभाज्य बनाना है।
अंकों का योग = 4 + 5 + x = 9 + x
9 से विभाज्यता के लिए 9 + x, 9 का गुणज होना चाहिए।
अतः x = 0 या 9.
5.4 शेषफल की मूल अवधारणा
यदि N को d से भाग देने पर शेषफल r है, तो:
उदाहरण: 29 को 6 से भाग देने पर शेषफल 5 है।
6. 📏 Divisibility Rules
| संख्या | विभाज्यता नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए। | 348 → अंतिम अंक 8 → विभाज्य |
| 3 | सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। | 123 → 1+2+3=6 → विभाज्य |
| 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों। | 1316 → 16 → विभाज्य |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो। | 475 → विभाज्य |
| 6 | संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। | 126 → सम है और 1+2+6=9 → विभाज्य |
| 7 | अंतिम अंक का दोगुना करके शेष संख्या से घटाएँ; प्राप्त संख्या 7 से विभाज्य हो तो मूल संख्या भी विभाज्य है। | 203 → 20−6=14 → 7 से विभाज्य |
| 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हों। | 3128 → 128 ÷ 8 = 16 |
| 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। | 729 → 18 → विभाज्य |
| 10 | अंतिम अंक 0 हो। | 450 → विभाज्य |
| 11 | वैकल्पिक अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो। | 121 → (1+1)−2=0 |
| 12 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य। | 144 → सम तथा अंकों का योग 9 |
| 15 | 3 और 5 दोनों से विभाज्य। | 345 → digit sum 12 और अंतिम अंक 5 |
| 16 | अंतिम चार अंक 16 से विभाज्य हों। | 1232 → 1232 ÷ 16 = 77 |
| 18 | 2 और 9 दोनों से विभाज्य। | 198 → सम और digit sum 18 |
| 20 | अंतिम दो अंक 20 से विभाज्य हों। | 460 → 60 ÷ 20 = 3 |
| 25 | अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 हों। | 1275 → विभाज्य |
| 50 | अंतिम दो अंक 00 या 50 हों। | 1850 → विभाज्य |
| 100 | अंतिम दो अंक 00 हों। | 3400 → विभाज्य |
6.1 11 से विभाज्यता — विस्तृत नियम
संख्या के दाएँ से या बाएँ से एक-एक अंक छोड़कर दो समूह बनाएँ। दोनों समूहों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।
उदाहरण: 2728
(2 + 2) − (7 + 8) = 4 − 15 = −11
11 का गुणज है, इसलिए 2728, 11 से विभाज्य है।
6.2 7 से विभाज्यता
अंतिम अंक को 2 से गुणा करके शेष संख्या से घटाएँ। प्रक्रिया आवश्यकता अनुसार दोहराई जा सकती है।
उदाहरण: 203
20 − 2×3 = 14
14, 7 से विभाज्य है। इसलिए 203 भी 7 से विभाज्य है।
7. 🧮 Formula Section
N = dq + r
जहाँ N = भाज्य, d = भाजक, q = भागफल, r = शेषफल
0 ≤ r < d
यदि a ≡ r₁ (mod m) और b ≡ r₂ (mod m), तो:
a+b ≡ r₁+r₂ (mod m)
a ≡ r₁ (mod m), b ≡ r₂ (mod m)
तो ab ≡ r₁r₂ (mod m)
शेषफल निकालने का सामान्य तरीका
यदि N को d से भाग देने पर q भागफल और r शेषफल है:
घातों वाले प्रश्न
यदि किसी संख्या को बार-बार किसी भाजक से विभाजित करने पर remainder pattern दोहराता है, तो cycle का उपयोग किया जा सकता है।
8. ⚡ Shortcuts & Tricks
9. 📝 Solved Examples
🟢 Example 1
प्रश्न: निम्न में से कौन-सी संख्या 3 से विभाज्य है?
4+2+6 = 12, और 12, 3 से विभाज्य है।
🟢 Example 2
प्रश्न: 5836 क्या 4 से विभाज्य है?
अंतिम दो अंक = 36। 36, 4 से विभाज्य है।
🟢 Example 3
प्रश्न: 72816 क्या 8 से विभाज्य है?
अंतिम तीन अंक = 816।
816 ÷ 8 = 102।
अतः संख्या 8 से विभाज्य है।
🟡 Example 4
प्रश्न: 45x को 9 से विभाज्य बनाने के लिए x के संभावित अंक क्या होंगे?
Digit sum = 4+5+x = 9+x.
9+x को 9 का गुणज होना चाहिए।
x = 0 या 9.
🟡 Example 5
प्रश्न: 67x4 को 4 से विभाज्य बनाने के लिए x के कितने मान संभव हैं?
अंतिम दो अंक x4 होंगे। संभावित संख्याएँ 04, 14, 24, ..., 94 हैं।
4 से विभाज्य अंतिम दो-अंकीय संख्याएँ: 04, 24, 44, 64, 84।
अतः x = 0,2,4,6,8 → 5 मान।
इसलिए सही उत्तर B. 5 है।
🟡 Example 6
प्रश्न: 6384, 6 से विभाज्य है या नहीं?
6 = 2 × 3.
6384 सम है → 2 से विभाज्य।
Digit sum = 6+3+8+4 = 21 → 3 से विभाज्य।
अतः 6384, 6 से विभाज्य है।
🟠 Example 7
प्रश्न: 5, 8 और 9 से विभाज्य सबसे छोटी धनात्मक संख्या क्या है?
LCM(5,8,9) = 5×8×9 = 360 क्योंकि ये तीनों pairwise coprime हैं।
उत्तर = 360
🟠 Example 8
प्रश्न: 123456 को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
Digits sum = 1+2+3+4+5+6 = 21.
21 को 9 से भाग देने पर शेषफल 3।
अतः 123456 को 9 से भाग देने पर शेषफल 3 होगा।
🔴 Example 9 — Advanced
प्रश्न: 7 से विभाज्य संख्या 5x32 में x का मान ज्ञात करने का एक उपयुक्त तरीका बताइए।
यहाँ संख्या = 5000 + 100x + 32.
x के प्रत्येक digit 0–9 के लिए divisibility condition जाँची जा सकती है।
5x32 के संभावित मान: 5032, 5132, 5232, ..., 5932।
7 से भाग देकर या 7 के divisibility rule से परीक्षण करना सुरक्षित तरीका है।
Exam में ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित digits को systematic तरीके से test करना ambiguity से बचाता है।
10. 📝 PYQ Master Section
CDS के official syllabus में Elementary Number Theory के अंतर्गत Division Algorithm, Prime/Composite Numbers, tests of divisibility by 2, 3, 4, 5, 9 और 11, तथा multiples and factors स्पष्ट रूप से दिए गए हैं। इसलिए CDS के लिए divisibility इस chapter का direct syllabus component है।
इस Master Page में बिना individual official paper verification के कोई question “Exam-Year Verified PYQ” नहीं बनाया गया है। इसलिए विद्यार्थी नीचे दिए गए questions को practice/pattern-based questions के रूप में देखें, वास्तविक PYQ के रूप में नहीं।
11. 📊 PYQ Pattern Analysis
| Pattern | क्या पूछा जा सकता है? | तैयारी |
|---|---|---|
| Direct Divisibility | संख्या किसी divisor से विभाज्य है या नहीं | 2,3,4,5,6,8,9,10,11 rules |
| Missing Digit | x का मान ताकि संख्या किसी divisor से divisible हो | Digit sum और अंतिम digits |
| Multiple Conditions | एक संख्या कई divisors से divisible हो | LCM + divisibility rules |
| Remainder | भाग देने पर शेषफल | Division Algorithm / modulo |
| Number Formation | अंकों को व्यवस्थित करके divisible number बनाना | Place value + divisibility condition |
| Concept Trap | किस rule को लागू करना है | Divisor के factorization को समझें |
12. 🎯 Practice Questions
Answer Key
| Q | उत्तर | मुख्य Concept |
|---|---|---|
| 1 | C | 2 का नियम |
| 2 | B | 3 का नियम |
| 3 | C | अंतिम दो अंक |
| 4 | D | Digit Sum |
| 5 | C | Remainder |
| 6 | A | अंतिम तीन अंक |
| 7 | C | 11 का नियम |
| 8 | B | 3 और 5 |
| 9 | D | 100 का नियम |
| 10 | C | Division Algorithm |
Detailed Solutions
13. 🧩 Concept Based Questions
Q1. यदि कोई संख्या 6 से विभाज्य है, तो वह किन दोनों संख्याओं से अवश्य विभाज्य होगी?
उत्तर: A — 6 = 2×3 और 2 तथा 3 सह-अभाज्य हैं।
Q2. क्या हर 9 से विभाज्य संख्या 3 से भी विभाज्य होती है?
उत्तर: A. क्योंकि 9 = 3×3.
Q3. क्या हर 4 से विभाज्य संख्या 8 से विभाज्य होगी?
उत्तर: B. उदाहरण 12, 4 से विभाज्य है लेकिन 8 से नहीं।
Q4. शेषफल की अधिकतम संभव value क्या हो सकती है यदि भाजक 9 है?
उत्तर: B. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
14. 🔥 Advanced Level
14.1 एक से अधिक divisibility conditions
यदि किसी संख्या को एक साथ 8 और 9 से विभाज्य होना है, तो 8 तथा 9 दोनों की conditions पूरी करनी होंगी। क्योंकि gcd(8,9)=1, उनका LCM = 72 होगा।
14.2 6, 12, 18 जैसे divisors
Composite divisor को उसके उपयुक्त factors में तोड़कर प्रश्न सरल किया जा सकता है।
14.3 Remainder Addition
यदि:
b ≡ r₂ (mod m)
तो:
14.4 Remainder Multiplication
14.5 Power Remainder
यदि किसी संख्या की powers का remainder किसी modulus पर एक cycle में repeat होता है, तो exponent को cycle length से reduce करके calculation सरल की जा सकती है।
🔴 Advanced Example
प्रश्न: 74 को 5 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात करें।
इसलिए 74 ≡ 24 = 16 ≡ 1 (mod 5).
उत्तर = 1
🔴 Advanced Example
प्रश्न: किसी संख्या को 12 से भाग देने पर शेषफल 7 है। उसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?
12q, 3 से विभाज्य है।
7 को 3 से भाग देने पर शेषफल 1।
उत्तर = 1
14.6 Missing Digit + Multiple Divisibility
ऐसे प्रश्नों में conditions को एक साथ लगाएँ। उदाहरण के लिए यदि संख्या को 6 और 5 दोनों से विभाज्य बनाना है, तो पहले अंतिम अंक की condition और फिर digit sum की condition लगाएँ।
15. ⚠️ Common Mistakes
❌ गलती: 4 से विभाज्यता जाँचने के लिए पूरी संख्या को 4 से divide करना।
✅ सही: केवल अंतिम दो अंक देखें।
❌ गलती: 8 के लिए अंतिम दो अंक देखना।
✅ सही: अंतिम तीन अंक देखें।
❌ गलती: 6 से divisibility के लिए केवल सम होना पर्याप्त मानना।
✅ सही: 2 और 3 दोनों की condition चाहिए।
❌ गलती: 9 से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक देखना।
✅ सही: सभी digits का sum देखें।
❌ गलती: 11 के नियम में सभी digits का सामान्य योग लेना।
✅ सही: alternate digit sums का अंतर लें।
❌ गलती: शेषफल को भाजक से बड़ा मान लेना।
✅ सही: 0 ≤ remainder < divisor.
❌ गलती: बिना जाँच के किसी memory-based question को PYQ मान लेना।
✅ सही: Official paper/answer key से verification होने पर ही Verified PYQ लिखें।
16. 🎯 Exam-wise Strategy
SSC
- 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 के नियम पूरी तरह याद करें।
- Missing digit questions का अभ्यास करें।
- Remainder और Number System को साथ में तैयार करें।
- Calculation कम करके rule-based approach अपनाएँ।
Railway
- Number System के साथ LCM/HCF और basic arithmetic जोड़कर अभ्यास करें।
- तेजी से divisibility पहचानने का अभ्यास करें।
CDS
- Official syllabus में divisibility tests स्पष्ट रूप से शामिल हैं।
- Division Algorithm, factors, multiples और elementary number theory को साथ पढ़ें।
- केवल shortcut नहीं; mathematical reasoning भी समझें।
NDA
- Basic rule से आगे जाकर number properties और multi-step arithmetic पर ध्यान दें।
- Remainder और modular thinking उपयोगी है।
Banking
- Speed और calculation efficiency पर ध्यान दें।
- Divisibility को simplification, approximation और arithmetic problem solving से जोड़कर अभ्यास करें।
- Exact chapter-level syllabus को संबंधित recruitment notification से verify करें।
State / Police / Other Recruitment Exams
- पहले संबंधित notification में Mathematics/Quantitative Aptitude/Number System देखें।
- यदि Number System syllabus में है तो divisibility को foundational topic के रूप में तैयार करना उपयोगी है, लेकिन exam-specific inclusion को notification से verify करें।
17. ⚡ Quick Revision
| Divisor | एक लाइन में Rule |
|---|---|
| 2 | अंतिम अंक 0,2,4,6,8 |
| 3 | Digits का sum 3 का multiple |
| 4 | Last 2 digits ÷ 4 |
| 5 | Last digit 0 या 5 |
| 6 | 2 और 3 दोनों |
| 8 | Last 3 digits ÷ 8 |
| 9 | Digits का sum 9 का multiple |
| 10 | Last digit 0 |
| 11 | Alternate sums का difference 0 या 11 का multiple |
| 12 | 3 और 4 दोनों |
| 15 | 3 और 5 दोनों |
| 25 | Last 2 digits 00/25/50/75 |
| 100 | Last 2 digits 00 |
2 → Last Digit
3 → Digit Sum
4 → Last 2 Digits
5 → Last Digit
6 → 2 + 3
8 → Last 3 Digits
9 → Digit Sum
10 → Last Digit
11 → Alternate Sum Difference
18. 🏆 Final Revision Box
🔥 Golden Rules
- शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
- 2 के लिए अंतिम अंक देखें।
- 3 और 9 के लिए digit sum देखें।
- 4 के लिए अंतिम 2 अंक देखें।
- 8 के लिए अंतिम 3 अंक देखें।
- 6 के लिए 2 और 3 दोनों check करें।
- 11 के लिए alternate digit sums का अंतर देखें।
- Composite divisor को उचित factors में तोड़कर प्रश्न सरल किया जा सकता है।
⚡ Top Tricks
- बड़ी संख्या को पूरा divide करने के बजाय divisibility rule लगाएँ।
- Unknown digit में पहले divisibility condition लिखें।
- Multiple divisors में LCM/factorization का उपयोग करें।
- Remainder प्रश्न में N = dq + r याद रखें।
⚠️ Top Exam Traps
- 4 और 8 के लिए गलत number of digits देखना।
- 6 के लिए केवल even होना मान लेना।
- 11 के rule में सामान्य digit sum करना।
- Remainder को divisor के बराबर रखना।
- Unverified प्रश्न को PYQ बताना।
🎯 Last Minute Revision
2: Even last digit | 3: Digit sum | 4: Last 2 | 5: 0/5 | 6: 2+3 | 8: Last 3 | 9: Digit sum | 10: 0 | 11: Alternate difference
📌 Source & Verification Note
Official syllabus और official question-paper availability समय के साथ बदल सकती है। इस page में exam applicability को chapter-level certainty से अधिक नहीं दिखाया गया है। जहाँ individual PYQ verification नहीं की गई है, वहाँ प्रश्न को Verified PYQ नहीं कहा गया है।
Primary evidence categories: SSC official examination notices/syllabi, RRB official CEN/syllabus documents, UPSC official examination notifications and previous-question-paper repository, तथा संबंधित banking recruitment documents.