क्रमचय एवं संचय, Formula, Tricks, Questions और Government Exams Basic to Advanced

क्रमचय एवं संचय (Permutation & Combination)

Fundamental Counting Principle • Factorial • Permutation • Combination • Basic Applications

All Relevant Government Exams — Basic → Advanced Master Notes

📋 Table of Contents

1. Chapter Overview 2. Exam Applicability Map 3. Basic Concepts 4. Important Definitions 5. Complete Concepts 6. Important Rules 7. Formula Section 8. Shortcuts & Tricks 9. Solved Examples 10. PYQ Master 11. PYQ Pattern Analysis 12. Practice Questions 13. Concept Questions 14. Advanced Level 15. Common Mistakes 16. Exam-wise Strategy 17. Quick Revision 18. Final Revision Box

1. Chapter Overview

क्रमचय एवं संचय क्या है?
क्रमचय एवं संचय (Permutation & Combination) गणित की वह शाखा है जिसमें वस्तुओं/व्यक्तियों/अंकों आदि को चुनने या व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात की जाती है।

क्रमचय और संचय में मूल अंतर

आधार	Permutation — क्रमचय	Combination — संचय
मुख्य विचार	वस्तुओं को व्यवस्थित करना	वस्तुओं का चयन करना
क्रम का महत्व	हाँ	नहीं
उदाहरण	A, B, C में से 2 को क्रम से रखना: AB और BA अलग	A, B, C में से 2 चुनना: AB और BA एक ही चयन

Exam Point: यदि प्रश्न में "arrange", "rank", "position", "seat", "order" जैसे शब्द हैं तो Permutation की संभावना देखें। यदि "select", "choose", "committee", "team", "group" जैसे शब्द हैं तो Combination की संभावना देखें।

इस Chapter के मुख्य भाग

Fundamental Counting Principle
Factorial
Permutation
Combination
Basic Applications
Selection और Arrangement का अंतर
Simple restrictions
Basic formation of numbers/words

2. EXAM APPLICABILITY MAP

महत्वपूर्ण स्रोत-नोट: अलग-अलग भर्ती परीक्षाओं के official syllabi में sub-topic का नाम हमेशा अलग से नहीं दिया जाता। इसलिए "Direct" केवल तब लिखा गया है जब उपलब्ध official evidence पर्याप्त स्पष्ट है। जहां syllabus केवल broad Quantitative/Mathematics aptitude बताता है, वहां उसे Related माना गया है।

Exam Category	Exam	Relevance	Official Evidence	PYQ Evidence	Typical Level	Pattern
Defence / UPSC	NDA/NA	🟢 Direct	Official Mathematics syllabus में “Permutation and Combination” स्पष्ट रूप से दिया गया है।	UPSC की official previous-question-paper repository में NDA Mathematics papers उपलब्ध हैं।	Intermediate–Advanced	Concept + Calculation
Defence / UPSC	CDS	🟡 Related	Elementary Mathematics का broad syllabus लागू होता है; इस page पर P&C को अलग से Direct official sub-topic नहीं माना गया है।	Official Elementary Mathematics papers उपलब्ध हैं।	Basic–Intermediate	Objective Mathematics
SSC	CGL / CHSL / MTS / GD आदि	🟡 Related	Exam-wise mathematical syllabus में broadly mathematical/quantitative abilities दी जाती हैं; P&C को हर exam के लिए अलग Direct official sub-topic मानना उचित नहीं है।	Official paper availability exam के अनुसार बदलती है।	Basic–Intermediate	Objective Aptitude
Railway	RRB NTPC / Group-D / अन्य	🟡 Related	Broad Mathematics syllabus के संदर्भ में देखा जाना चाहिए; इस chapter के लिए universal Direct claim नहीं किया गया है।	Exam-specific papers/answer material notification system के अनुसार बदलते हैं।	Basic–Intermediate	Objective
Banking	IBPS / SBI आदि	🟡 Related	Quantitative Aptitude/Numerical Ability आधारित sections होते हैं; official notification सामान्यतः प्रत्येक micro-topic को अलग-अलग सूचीबद्ध नहीं करता।	Official notification को primary evidence माना जाना चाहिए।	Intermediate	Speed + Calculation
Insurance	LIC / NIACL / अन्य	🟡 Related	Quantitative/Numerical aptitude के broad framework में संभावित relevance।	Exam-specific verification आवश्यक।	Basic–Intermediate	Objective
State / Police / Revenue	State-level competitive exams	🟡 Related	State notification के अनुसार बदलता है।	State-specific PYQ verification आवश्यक।	Basic–Intermediate	Objective
Teaching	CTET / अन्य	🟠 Limited/Indirect	Exam-specific mathematics syllabus पर निर्भर। P&C को universal Direct topic नहीं माना गया है।	Exam-specific evidence आवश्यक।	Basic	Conceptual
Technical / Engineering	ESE / SSC JE / RRB JE आदि	🟠 Limited/Indirect	Technical paper का syllabus संबंधित discipline पर आधारित होता है; सामान्य P&C को universal technical topic नहीं माना गया है।	Discipline-specific verification आवश्यक।	Varies	Technical

Official Evidence: UPSC NDA के official syllabus में “Permutation and Combination” स्पष्ट रूप से Mathematics syllabus में शामिल है। UPSC की official website पर NDA Mathematics के recent question papers भी उपलब्ध हैं। 0

ध्यान दें: SSC, Railway, Banking, State और अन्य परीक्षाओं के लिए किसी एक generic syllabus को सभी भर्ती परीक्षाओं पर लागू नहीं किया जाना चाहिए। भर्ती notification बदलने पर syllabus भी बदल सकता है।

3. BASIC CONCEPTS

3.1 Fundamental Counting Principle

यदि कोई पहला कार्य m तरीकों से और दूसरा कार्य n तरीकों से किया जा सकता है तथा दोनों कार्य क्रमशः किए जाने हैं, तो कुल तरीके:

m × n

इसी विचार को Fundamental Counting Principle कहते हैं।

उदाहरण: किसी व्यक्ति के पास 3 shirts और 2 pants हैं। एक shirt और एक pant चुनने के कुल तरीके:

3 × 2 = 6

3.2 Factorial

किसी धनात्मक पूर्णांक n का factorial, 1 से n तक सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल को कहते हैं।

n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1

याद रखें:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120

3.3 Permutation

जब वस्तुओं को क्रम के साथ व्यवस्थित किया जाता है, तो Permutation का उपयोग होता है।

उदाहरण: A, B, C में से 2 अक्षरों की arrangement:
AB, BA, AC, CA, BC, CB

कुल = 6

3.4 Combination

जब वस्तुओं में से केवल चयन किया जाता है और क्रम का महत्व नहीं होता, तो Combination का उपयोग होता है।

A, B, C में से 2 चुनने पर:
AB, AC, BC

कुल = 3

⚡ Golden Trick:
Permutation = Position / Arrangement
Combination = Choice / Selection

4. IMPORTANT DEFINITIONS

Term	अर्थ
Counting	किसी कार्य को करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करना
Factorial	1 से किसी संख्या तक के गुणनफल को factorial कहते हैं।
Permutation	क्रम को ध्यान में रखते हुए arrangement
Combination	क्रम को ध्यान में रखे बिना selection
n	कुल उपलब्ध वस्तुओं की संख्या
r	एक बार में चुनी/व्यवस्थित की जाने वाली वस्तुओं की संख्या

5. COMPLETE CONCEPTS

5.1 Multiplication Principle

Total ways = m × n × p × ...

जब कई स्वतंत्र चरण लगातार किए जाते हैं, तो प्रत्येक चरण के तरीकों को गुणा किया जाता है।

5.2 Addition Principle

यदि किसी कार्य को अलग-अलग mutually exclusive तरीकों से किया जा सकता है, तो तरीकों को जोड़ा जाता है।

Total ways = m + n + p + ...

उदाहरण: किसी विद्यार्थी के पास 4 Hindi books और 3 English books हैं और उसे केवल एक book चुननी है।
कुल तरीके = 4 + 3 = 7

5.3 Permutation Formula

ⁿPᵣ = n! / (n−r)!

यहां क्रम महत्वपूर्ण है और n वस्तुओं में से r वस्तुओं को arrange किया जाता है।

5.4 Combination Formula

ⁿCᵣ = n! / [r!(n−r)!]

यहां क्रम महत्वपूर्ण नहीं है और n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन किया जाता है।

5.5 Permutation और Combination का संबंध

ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!

पहले r वस्तुओं का चयन करें और फिर उन r वस्तुओं को r! तरीकों से arrange करें।

5.6 Symmetry Property

ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ

उदाहरण:
¹⁰C₃ = ¹⁰C₇
क्योंकि 3 चुनना और 7 को बाहर छोड़ना एक ही selection को दर्शाता है।

5.7 Basic Number Formation

अंकों से संख्या बनाते समय तीन चीजें देखें:

क्या repetition allowed है?
क्या पहला digit zero हो सकता है?
क्या digits का order महत्वपूर्ण है?

Common Trap: यदि संख्या का पहला digit 0 नहीं हो सकता, तो first position को अलग से handle करना पड़ता है।

5.8 Selection of Team/Committee

यदि केवल team या committee चुननी है और सदस्यों का order महत्वपूर्ण नहीं है, तो Combination लगेगा।

Number of teams = ⁿCᵣ

5.9 Arrangement of People

यदि लोगों को अलग-अलग seats/positions पर arrange करना है, तो सामान्यतः Permutation का उपयोग होगा।

n persons in a line = n!

5.10 Repetition की Basic स्थिति

यदि प्रत्येक position पर n choices उपलब्ध हैं और कुल r positions हैं तथा repetition allowed है:

Total ways = nʳ

उदाहरण: 3 अलग-अलग digits से 4-digit code बनाना और repetition allowed होना:
3⁴ = 81

6. IMPORTANT RULES

Rule 1: Arrangement में order महत्वपूर्ण होता है।

Rule 2: Selection में order सामान्यतः महत्वपूर्ण नहीं होता।

Rule 3: 0! = 1

Rule 4: nPn = n!

Rule 5: nP1 = n

Rule 6: nC0 = nCn = 1

Rule 7: nC1 = n

Rule 8: nCr = nC(n-r)

Rule 9: यदि एक ही व्यक्ति/वस्तु को दो अलग positions में रखना है, तो सामान्यतः वही object दो बार इस्तेमाल नहीं किया जा सकता जब तक repetition explicitly allowed न हो।

Rule 10: "At least", "at most", "exactly" जैसे शब्दों को ध्यान से पढ़ें।

7. FORMULA SECTION

Factorial:
n! = n(n−1)(n−2)...1

Permutation:
ⁿPᵣ = n!/(n−r)!

Combination:
ⁿCᵣ = n!/[r!(n−r)!]

Relation:
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!

Symmetry:
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ

All n objects arranged in a line:
n!

Repetition allowed in r positions from n choices:
nʳ

Repeated identical objects — सामान्य arrangement:
n!/(p!q!r!...)

Formula Condition: हर formula लगाने से पहले यह देखें कि objects distinct हैं या identical, repetition allowed है या नहीं और order महत्वपूर्ण है या नहीं।

8. SHORTCUTS & TRICKS

⚡ Trick 1 — P या C?

Arrange / Rank / Position / Order → Permutation
Select / Choose / Committee / Team → Combination

⚡ Trick 2 — Combination में छोटा r चुनें

यदि ¹⁰C₇ निकालना हो:
¹⁰C₇ = ¹⁰C₃
इससे calculation छोटी हो जाती है।

⚡ Trick 3 — nPr को Combination में बदलें

nPr = nCr × r!

⚡ Trick 4 — Number Formation

पहले position को अलग सोचें, खासकर जब 0 उपलब्ध हो। उसके बाद बाकी positions की choices गिनें।

⚡ Trick 5 — Repetition Check

Question में "without repetition" या "no digit repeated" हो तो हर position की choices कम होती जाएंगी।

9. SOLVED EXAMPLES

🟢 Example 1 — Fundamental Counting Principle

Question: 4 shirts और 3 pants में से एक shirt और एक pant चुनने के कितने तरीके हैं?

A. 7

B. 12

C. 10

D. 14

Correct Answer: B. 12

4 × 3 = 12

Concept: Multiplication Principle.

🟢 Example 2 — Factorial

Question: 5! का मान ज्ञात कीजिए।

Correct Answer: 120

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

🟡 Example 3 — Permutation

Question: 5 अलग-अलग वस्तुओं में से 3 को क्रम से arrange करने के कितने तरीके हैं?

A. 20

B. 40

C. 60

D. 120

Correct Answer: C. 60

⁵P₃ = 5!/(5−3)!
= 5!/2!
= 5×4×3
= 60

🟡 Example 4 — Combination

Question: 5 विद्यार्थियों में से 2 विद्यार्थियों की committee कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

Correct Answer: B. 10

⁵C₂ = 5!/(2!3!)
= (5×4)/(2×1)
= 10

Committee में members का order महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए Combination लगेगा।

🟡 Example 5 — Permutation vs Combination

Question: 4 लोगों में से President और Secretary चुनने के कितने तरीके हैं?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

Correct Answer: D. 12

⁴P₂ = 4×3 = 12

क्योंकि President और Secretary की positions अलग हैं, इसलिए AB और BA अलग arrangement हैं।

🟠 Example 6 — Number Formation

Question: Digits 1, 2, 3, 4 से बिना repetition के 3-digit numbers कितने बनाए जा सकते हैं?

Correct Answer: 24

⁴P₃ = 4×3×2 = 24

🟠 Example 7 — Repetition Allowed

Question: Digits 1, 2, 3 से repetition allowed होने पर 4-digit codes कितने बनाए जा सकते हैं?

Correct Answer: 81

3⁴ = 81

10. PYQ MASTER SECTION

PYQ Verification Rule: इस Chapter के लिए किसी प्रश्न को वास्तविक PYQ तभी कहा जाना चाहिए जब उसके Exam/Year/Paper की विश्वसनीय पुष्टि उपलब्ध हो। इसलिए नीचे unverified reconstructed questions को वास्तविक PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है।

Official Evidence — NDA:
UPSC के NDA/NA Mathematics syllabus में “Permutation and Combination” स्पष्ट रूप से शामिल है। UPSC की official previous-question-paper repository में NDA Mathematics papers भी उपलब्ध हैं। 1

PYQ Status:
इस consolidated page में बिना स्वतंत्र question-paper verification के किसी specific question को "NDA 2024 PYQ", "SSC 2023 PYQ" आदि नहीं लिखा गया है।

इसलिए: ऊपर के अभ्यास प्रश्न PYQ Pattern Based Important Questions के रूप में समझे जाएं, वास्तविक PYQ के रूप में नहीं।

PYQ Pattern Based Important Questions

Pattern Question 1: यदि 6 अलग-अलग वस्तुओं में से 2 को arrange करना हो, तो कितने तरीके होंगे?

उत्तर: 6P2 = 30

Pattern Question 2: 8 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों की committee कितने तरीकों से बनेगी?

उत्तर: 8C3 = 56

Pattern Question 3: 5 अलग-अलग अंकों में से 3 अंकों का arrangement बिना repetition के कितने तरीकों से होगा?

उत्तर: 5P3 = 60

11. PYQ PATTERN ANALYSIS

Question Type	मुख्य Concept	Approach
Direct Factorial	n!	Factorial calculation
Arrangement	Permutation	Order/position देखें
Selection	Combination	Order irrelevant देखें
Number Formation	Counting + Permutation	0 और repetition की condition देखें
Team/Committee	Combination	Members का order नहीं
Posts/Positions	Permutation	Posts अलग हैं

Evidence Limitation: अलग-अलग exams में इस chapter की exact frequency बताने के लिए year-wise verified paper dataset चाहिए। इसलिए यहां बिना पर्याप्त verified dataset के "हर वर्ष X प्रश्न" जैसे frequency claims नहीं किए गए हैं।

12. PRACTICE QUESTIONS

Q1. 4! का मान क्या है?

A. 12

B. 16

C. 24

D. 32

Q2. 6 वस्तुओं में से 2 को arrange करने के कितने तरीके हैं?

A. 12

B. 15

C. 30

D. 36

Q3. 6 विद्यार्थियों में से 2 की committee कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

A. 12

B. 15

C. 30

D. 36

Q4. ⁷C₂ का मान क्या है?

A. 14

B. 21

C. 28

D. 35

Q5. ⁶P₃ का मान क्या है?

A. 60

B. 90

C. 120

D. 180

Q6. ⁸C₆ किसके बराबर है?

A. 8C2

B. 8C3

C. 8C4

D. 8C5

Q7. 3 shirts और 4 trousers में से एक shirt तथा एक trouser चुनने के कितने तरीके हैं?

A. 7

B. 10

C. 12

D. 16

Q8. 5 लोगों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?

A. 20

B. 60

C. 100

D. 120

Q9. 4 digits से repetition allowed होने पर 3-position code कितने बनेंगे?

A. 12

B. 16

C. 64

D. 81

Q10. 5 लोगों में से President और Secretary चुनने के कितने तरीके हैं?

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

### Answer Key

1-C | 2-C | 3-B | 4-B | 5-C | 6-A | 7-C | 8-D | 9-C | 10-C

### Detailed Solutions

Q1: 4! = 4×3×2×1 = 24.

Q2: ⁶P₂ = 6×5 = 30.

Q3: ⁶C₂ = (6×5)/2 = 15.

Q4: ⁷C₂ = (7×6)/2 = 21.

Q5: ⁶P₃ = 6×5×4 = 120.

Q6: nCr = nC(n-r), इसलिए ⁸C₆ = ⁸C₂ = 28.

Q7: 3×4 = 12.

Q8: 5! = 120.

Q9: प्रत्येक position पर 4 choices हैं और 3 positions हैं:
4³ = 64.

Q10: दो अलग posts हैं:
⁵P₂ = 5×4 = 20.

13. CONCEPT BASED QUESTIONS

Q1. 10 विद्यार्थियों में से 3 विद्यार्थियों की team चुनने में Combination क्यों लगेगा?

उत्तर:

क्योंकि team में विद्यार्थियों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता। A-B-C और C-B-A एक ही team है।

Q2. 10 विद्यार्थियों में से Captain, Vice-Captain और Secretary चुनने में Permutation क्यों लगेगा?

उत्तर:

क्योंकि तीनों पद अलग-अलग हैं। एक व्यक्ति का पद बदलने पर arrangement बदल जाता है।

Q3. ⁸C₆ को सीधे calculate करने की जगह ⁸C₂ क्यों लेना सुविधाजनक है?

उत्तर:

क्योंकि ⁸C₆ = ⁸C₂ और छोटे r के कारण calculation आसान हो जाती है।

14. ADVANCED LEVEL

14.1 Arrangement with a Block

यदि दो specific objects को हमेशा साथ रखना हो, तो उन्हें एक block मानकर arrangement किया जा सकता है।

Block Method → Objects को एक unit मानें

उदाहरण: A और B को साथ रखना हो, तो [AB] को एक unit माना जा सकता है। यदि A और B आपस में बदल सकते हैं तो internal arrangements भी अलग से देखे जाते हैं।

14.2 "At Least" Questions

"At least one" वाले प्रश्नों में कई बार:

Required = Total − None

विधि उपयोगी होती है।

14.3 Restricted Selection

यदि किसी selection में कोई व्यक्ति अनिवार्य है:

Required person को पहले fix करें → बाकी positions/selection calculate करें

14.4 Restricted Arrangement

यदि कोई व्यक्ति किसी particular position पर नहीं आ सकता, तो:

Allowed = Total − Forbidden

Trap: "not together", "not selected", "at least", "at most", "exactly" और "without repetition" जैसे शब्द solution की पूरी method बदल सकते हैं।

14.5 Traditional vs Shortcut

स्थिति	Traditional Approach	Fast Approach
Small nCr	पूरा factorial formula	Cancellation
nCr जहां r बड़ा है	Direct calculation	nC(n-r)
Simple arrangement	nPr	n×(n−1)...
Repeated choices	Position-wise counting	nʳ

15. COMMON MISTAKES

❌ गलती: हर selection में Permutation लगा देना।
✅ सही: यदि order महत्वपूर्ण नहीं है तो Combination देखें।

❌ गलती: 0 को first digit में सामान्य digit की तरह लेना।
✅ सही: Number formation में leading zero की condition check करें।

❌ गलती: repetition allowed और without repetition को एक जैसा मानना।
✅ सही: प्रत्येक position की उपलब्ध choices अलग-अलग लिखें।

❌ गलती: ⁿCᵣ और ⁿPᵣ को interchange करना।
✅ सही: Selection = C, Arrangement = P.

❌ गलती: nC(r) में r को n से बड़ा मान लेना।
✅ सही: सामान्य Combination में 0 ≤ r ≤ n होना चाहिए।

16. EXAM-WISE STRATEGY

🇮🇳 NDA / Defence Mathematics

NDA के लिए यह chapter विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि official Mathematics syllabus में Permutation and Combination स्पष्ट रूप से शामिल है। UPSC की official repository में NDA Mathematics papers भी उपलब्ध हैं। 2

तैयारी: Formula → Basic Counting → P/C → Application → Mixed Questions.

SSC / Railway

इन परीक्षाओं के लिए micro-topic को केवल generic syllabus देखकर Direct official topic घोषित न करें। यदि current notification में exact topic उपलब्ध हो तो उसी notification को प्राथमिक evidence बनाएं।

तैयारी: Basic counting, factorial, simple P/C, number formation और mixed aptitude problems पर concept clarity रखें।

Banking

Banking examinations में official recruitment notification को प्राथमिक आधार मानें। Quantitative Aptitude/Numerical Ability broad section होने के कारण chapter की exact inclusion notification/paper से verify करनी चाहिए।

तैयारी: calculation speed और short methods पर विशेष ध्यान दें।

State Exams / Police / Revenue

State-specific syllabus अलग हो सकता है। इसलिए संबंधित भर्ती notification को अंतिम authority मानें।

तैयारी: Basic → Moderate → Previous-paper pattern.

Technical / Engineering Exams

Technical recruitment में सामान्य Mathematics और discipline-specific mathematics को अलग रखें। केवल broad mathematical background के आधार पर P&C को हर technical examination का Direct topic न मानें।

17. QUICK REVISION

🏆 One-Minute Revision

Counting Principle → चरणों में choices हों तो गुणा
Addition Principle → अलग विकल्प हों तो जोड़
n! → n से 1 तक गुणनफल
0! = 1
Permutation → Order महत्वपूर्ण
Combination → Order महत्वपूर्ण नहीं
ⁿPᵣ = n!/(n-r)!
ⁿCᵣ = n!/[r!(n-r)!]
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!
ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ
nPn = n!
nP1 = n
nC0 = nCn = 1
nC1 = n
Repetition allowed in r positions → nʳ
Number formation में leading zero check करें।

18. FINAL REVISION BOX

🔥 Golden Rules

पहले तय करें: Selection है या Arrangement?
Selection → Combination.
Arrangement → Permutation.
Repeated choices → Fundamental Counting Principle / nʳ.
Number formation में 0 की स्थिति जरूर देखें।
Without repetition होने पर choices घटती हैं।
nCr में symmetry का उपयोग calculation छोटा करने के लिए करें।

📌 Top Formulas

n! = n(n−1)(n−2)...1

ⁿPᵣ = n!/(n−r)!

ⁿCᵣ = n!/[r!(n−r)!]

ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!

ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ

Repetition allowed = nʳ

⚡ Top Trick

P = Position → Permutation
C = Choice → Combination

📌 Exam Applicability Final Note

इस chapter का सबसे स्पष्ट official syllabus evidence UPSC NDA Mathematics में उपलब्ध है। अन्य examinations में exact applicability उनके संबंधित current notification/syllabus पर निर्भर करती है। UPSC की official site पर NDA के Mathematics question papers भी प्रकाशित किए जाते हैं। 3

⚠️ अंतिम Accuracy Note

किसी भी परीक्षा के लिए syllabus या PYQ का दावा करने से पहले संबंधित official notification/question paper की पुष्टि करें। जहां पुष्टि उपलब्ध नहीं है, वहां उसे verified fact या वास्तविक PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं करना चाहिए।

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क्रमचय एवं संचय, Formula, Tricks, Questions और Government Exams Basic to Advanced

क्रमचय एवं संचय (Permutation & Combination)

📋 Table of Contents

1. Chapter Overview

क्रमचय और संचय में मूल अंतर

इस Chapter के मुख्य भाग

2. EXAM APPLICABILITY MAP

3. BASIC CONCEPTS

3.1 Fundamental Counting Principle

3.2 Factorial

3.3 Permutation

3.4 Combination

4. IMPORTANT DEFINITIONS

5. COMPLETE CONCEPTS

5.1 Multiplication Principle

5.2 Addition Principle

5.3 Permutation Formula

5.4 Combination Formula

5.5 Permutation और Combination का संबंध

5.6 Symmetry Property

5.7 Basic Number Formation

5.8 Selection of Team/Committee

5.9 Arrangement of People

5.10 Repetition की Basic स्थिति

6. IMPORTANT RULES

7. FORMULA SECTION

8. SHORTCUTS & TRICKS

⚡ Trick 1 — P या C?

⚡ Trick 2 — Combination में छोटा r चुनें

⚡ Trick 3 — nPr को Combination में बदलें

⚡ Trick 4 — Number Formation

⚡ Trick 5 — Repetition Check

9. SOLVED EXAMPLES

🟢 Example 1 — Fundamental Counting Principle

🟢 Example 2 — Factorial

🟡 Example 3 — Permutation

🟡 Example 4 — Combination

🟡 Example 5 — Permutation vs Combination

🟠 Example 6 — Number Formation

🟠 Example 7 — Repetition Allowed

10. PYQ MASTER SECTION

PYQ Pattern Based Important Questions

11. PYQ PATTERN ANALYSIS

12. PRACTICE QUESTIONS

### Answer Key

### Detailed Solutions

13. CONCEPT BASED QUESTIONS

14. ADVANCED LEVEL

14.1 Arrangement with a Block

14.2 "At Least" Questions

14.3 Restricted Selection

14.4 Restricted Arrangement

14.5 Traditional vs Shortcut

15. COMMON MISTAKES

16. EXAM-WISE STRATEGY

🇮🇳 NDA / Defence Mathematics

SSC / Railway

Banking

State Exams / Police / Revenue

Technical / Engineering Exams

17. QUICK REVISION

🏆 One-Minute Revision

18. FINAL REVISION BOX

🔥 Golden Rules

📌 Top Formulas

⚡ Top Trick

📌 Exam Applicability Final Note

⚠️ अंतिम Accuracy Note

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