द्विघात समीकरण: मूल, गुणनखंड विधि और सूत्र

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

Mathematics → Algebra → द्विघात समीकरण

मानक द्विघात समीकरण • मूल • गुणनखंड विधि • मूलों की प्रकृति • द्विघात सूत्र • मूलों का योग एवं गुणनफल • परीक्षा-उपयोगी प्रश्न

Basic → Advanced Government Exams Concept + Formula Exam Oriented Hindi Notes

1. Chapter Overview

द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात 2 होती है। इसका सामान्य रूप है:

ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0

यह Algebra का महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें मुख्य रूप से समीकरण के मूल (Roots), गुणनखंड, मूलों की प्रकृति, मूलों का योग, मूलों का गुणनफल और समीकरण को हल करने की विभिन्न विधियाँ पढ़ी जाती हैं।

🔥 परीक्षा बिंदु: द्विघात समीकरण का स्पष्ट syllabus evidence UPSC CDS के Elementary Mathematics में उपलब्ध है। RRB Technician Grade-I Signal के 2025 official syllabus में भी “Quadratic Equations” सीधे Mathematics में दिया गया है। NDA के official syllabus में भी quadratic equations शामिल हैं।

इस अध्याय में क्या पढ़ना है?

द्विघात समीकरण की पहचान
मानक रूप
मूल की अवधारणा
गुणनखंड विधि
द्विघात सूत्र
विविक्तकर (Discriminant)
मूलों की प्रकृति
मूलों का योग एवं गुणनफल
दिए गए मूलों से समीकरण बनाना
Parameter आधारित प्रश्न
Concept-based और Trap Questions

2. Table of Contents

Exam Applicability Map Basic Concepts Important Definitions Complete Concepts Important Rules Formula Section Shortcuts & Tricks Solved Examples PYQ Master Section PYQ Pattern Analysis Practice Questions Concept Based Questions Advanced Level Common Mistakes Exam-wise Strategy Quick Revision Final Revision Box

3. EXAM APPLICABILITY MAP

महत्वपूर्ण: नीचे Direct का अर्थ है कि उपलब्ध official syllabus में quadratic equations स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। Related/Limited का अर्थ है कि व्यापक Algebra या school-level algebra का उल्लेख है, लेकिन उपलब्ध cited syllabus में “quadratic equations” को अलग topic के रूप में स्पष्ट नहीं पाया गया। किसी Exam में topic का अनुमान लगाकर Direct नहीं बनाया गया है।

Exam Category	Exam	Relevance	Evidence स्थिति	Typical Level	Question Pattern
UPSC	NDA/NA	🟢 Direct	Official syllabus evidence	Basic–Advanced	Quadratic equations, roots और Algebra आधारित problems
UPSC	CDS	🟢 Direct	Official Elementary Mathematics syllabus	Basic–Intermediate	Solutions of quadratic equations, roots और coefficients
Railway	RRB Technician Grade-I Signal	🟢 Direct	Official CEN 02/2025 syllabus	Basic–Intermediate	Objective Mathematics questions
Railway	अन्य Railway exams	🟡 Related / Exam-dependent	Exam-specific notification देखना आवश्यक	Exam-dependent	Notification के अनुसार
SSC	CGL	🟠 Limited/Indirect	Official syllabus में School Algebra/identities और elementary surds हैं; quadratic equations को अलग topic के रूप में स्पष्ट नहीं किया गया	Basic	Algebraic manipulation आधारित प्रश्न संभव; quadratic को direct syllabus claim नहीं करें
Banking	IBPS/SBI आदि	🟡 Exam-dependent	प्रत्येक recruitment notification/syllabus की पुष्टि आवश्यक	Exam-dependent	Quantitative aptitude के exam-specific pattern पर निर्भर
Defence	Defence exams	🟡 Exam-dependent	जहाँ Mathematics syllabus में quadratic equations हों वहाँ Direct	Basic–Advanced	Exam-specific
State/Police	State भर्ती परीक्षाएँ	🟡 Related / Exam-dependent	राज्य एवं भर्ती notification पर निर्भर	Basic–Intermediate	Objective school-level Algebra

⚠️ सावधानी: UPSC Civil Services Preliminary जैसे examinations के लिए इस chapter को direct quadratic-equation syllabus topic के रूप में घोषित नहीं किया गया है। इसलिए केवल “Mathematics” शब्द देखकर हर UPSC examination में इसे Direct नहीं माना जाना चाहिए।

4. BASIC CONCEPTS

4.1 समीकरण क्या है?

ऐसा गणितीय कथन जिसमें दो expressions को बराबर रखा जाता है और अज्ञात राशि का मान ज्ञात करना होता है, समीकरण कहलाता है।

उदाहरण:

x + 5 = 12

यहाँ x अज्ञात चर है और x = 7 इसका हल है।

4.2 द्विघात समीकरण क्या है?

जिस polynomial equation में चर की highest power 2 हो, उसे द्विघात समीकरण कहते हैं।

ax² + bx + c = 0

जहाँ:

a, b, c वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं।
a ≠ 0 होना अनिवार्य है।
x अज्ञात चर है।

⚠️ सबसे महत्वपूर्ण: यदि a = 0 हो जाए तो ax² + bx + c = 0 वास्तव में द्विघात समीकरण नहीं रहेगा; वह अधिकतम linear equation बन जाएगा।

4.3 उदाहरण

द्विघात: 2x² + 5x + 3 = 0

द्विघात: x² − 7x + 10 = 0

द्विघात: 4x² − 9 = 0

द्विघात नहीं: 3x + 5 = 0

द्विघात नहीं: x³ + 2x + 1 = 0

5. IMPORTANT DEFINITIONS

1. द्विघात समीकरण

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 के रूप में लिखे जाने वाले समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं।

2. मूल (Root)

चर का वह मान जो समीकरण को सत्य बना दे, समीकरण का मूल कहलाता है।

3. गुणनखंड (Factor)

ऐसी expressions जिनका गुणनफल मूल polynomial के बराबर हो, उसके factors कहलाते हैं।

4. विविक्तकर (Discriminant)

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए:

D = b² − 4ac

यह मुख्य रूप से मूलों की प्रकृति निर्धारित करने में उपयोग होता है।

5. वास्तविक मूल

ऐसे मूल जो वास्तविक संख्याएँ हों।

6. समान वास्तविक मूल

जब दोनों मूल समान हों, तब D = 0 होता है।

6. COMPLETE CONCEPTS

6.1 मानक द्विघात समीकरण

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

यहाँ:

a = x² का coefficient
b = x का coefficient
c = constant term

उदाहरण:

3x² − 7x + 2 = 0

यहाँ a = 3, b = −7, c = 2

6.2 मूलों द्वारा समीकरण का अर्थ

यदि α और β किसी quadratic equation के roots हैं, तो:

(x − α)(x − β) = 0

अर्थात:

x = α या x = β

6.3 गुणनखंड विधि

यदि quadratic expression को दो linear factors में लिखा जा सके, तो factorisation से roots निकाले जा सकते हैं।

उदाहरण:

x² − 5x + 6 = 0

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका:

गुणनफल = 6
योग = −5

संख्याएँ −2 और −3 हैं।

(x − 2)(x − 3) = 0

अतः:

x = 2, 3

6.4 a ≠ 1 होने पर गुणनखंड

उदाहरण: 2x² + 7x + 3 = 0

2 × 3 = 6

ऐसी संख्याएँ जिनका गुणनफल 6 और योग 7 हो: 6 और 1

2x² + 6x + x + 3 = 0

2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

(2x + 1)(x + 3) = 0

अतः:

x = −1/2, −3

6.5 द्विघात सूत्र

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

यह विधि तब विशेष रूप से उपयोगी है जब factorisation आसान न हो।

6.6 मूलों की प्रकृति

मूलों की प्रकृति विविक्तकर:

D = b² − 4ac

से निर्धारित होती है।

D की स्थिति	मूलों की प्रकृति	मुख्य परिणाम
D > 0	दो भिन्न वास्तविक मूल	α ≠ β
D = 0	दो समान वास्तविक मूल	α = β
D < 0	कोई वास्तविक मूल नहीं	मूल complex/non-real conjugate pair होते हैं, जब coefficients real हों

6.7 मूलों का योग

यदि roots α और β हैं, तो:

α + β = −b/a

6.8 मूलों का गुणनफल

αβ = c/a

6.9 मूलों और coefficients का संबंध

यदि:

ax² + bx + c = 0

तो:

α + β = −b/a

αβ = c/a

6.10 दिए गए roots से quadratic equation

यदि roots α और β दिए हों, तो:

x² − (α + β)x + αβ = 0

यदि leading coefficient k चाहिए, तो:

k[x² − (α + β)x + αβ] = 0

7. IMPORTANT RULES

✍️ Rule 1: Quadratic equation में x² का coefficient zero नहीं हो सकता।

✍️ Rule 2: ax² + bx + c = 0 के roots के लिए α + β = −b/a और αβ = c/a।

✍️ Rule 3: D = b² − 4ac roots की प्रकृति बताता है।

🔥 Rule 4: D = 0 होने पर दो roots को अलग-अलग roots न लिखें; दोनों equal होते हैं।

⚠️ Trap: −b/a को roots का product समझना गलत है। यह roots का sum है।

⚠️ Trap: c/a roots का sum नहीं बल्कि roots का product है।

📌 Rule 5: यदि roots α और β हैं, तो polynomial को a(x − α)(x − β) के रूप में लिखा जा सकता है।

8. FORMULA SECTION

1. Standard Form

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

2. Quadratic Formula

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

3. Discriminant

D = b² − 4ac

4. Sum of Roots

α + β = −b/a

5. Product of Roots

αβ = c/a

6. Equation from Roots

x² − (α + β)x + αβ = 0

7. Equal Roots

D = 0

8. Two Distinct Real Roots

D > 0

9. No Real Roots

D < 0

Symbols: a, b, c = coefficients; x = variable; α, β = roots; D = discriminant.

9. SHORTCUTS & TRICKS

⚡ Trick 1 — Roots का sum/product तुरंत:

Equation ax² + bx + c = 0 देखते ही:

Sum = −b/a

Product = c/a

इससे कई questions बिना roots निकाले हल हो जाते हैं।

⚡ Trick 2 — Equal roots:

दोनों roots समान हैं तो सीधे:

b² − 4ac = 0

लगाएँ।

⚡ Trick 3 — Factorisation पहले देखें:

यदि constant और middle coefficient छोटे integers हों, तो quadratic formula लगाने से पहले factorisation check करें।

⚡ Trick 4 — Roots दिए हों:

α और β दिए हैं तो पूरा solution निकालने की जरूरत नहीं। सीधे:

x² − (α + β)x + αβ = 0

⚠️ Trick का उपयोग कब न करें? यदि factorisation स्पष्ट नहीं है, तो समय बचाने के नाम पर गलत factors अनुमान न लगाएँ। Quadratic formula अधिक सुरक्षित है।

10. SOLVED EXAMPLES

BASIC

प्रश्न 1. x² − 5x + 6 = 0 के roots ज्ञात कीजिए।

A. 1, 6

B. 2, 3

C. −2, −3

D. 3, 4

उत्तर: B. 2, 3

हल:

x² − 5x + 6 = 0

ऐसी दो संख्याएँ जिनका गुणनफल 6 और योग −5 हो: −2, −3

(x − 2)(x − 3) = 0

अतः x = 2 या x = 3।

Concept: Factorisation

Shortcut: Sum of roots = 5 तथा product = 6; roots 2 और 3।

MEDIUM

प्रश्न 2. 2x² + 7x + 3 = 0 के roots ज्ञात कीजिए।

A. −1/2, −3

B. 1/2, 3

C. −2, −3/2

D. 1, −3

उत्तर: A. −1/2, −3

हल:

2x² + 7x + 3 = 0

2x² + 6x + x + 3 = 0

2x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

(2x + 1)(x + 3) = 0

अतः:

2x + 1 = 0 ⇒ x = −1/2

x + 3 = 0 ⇒ x = −3

MEDIUM

प्रश्न 3. x² − 8x + 15 = 0 के roots की प्रकृति क्या है?

A. दो समान वास्तविक

B. दो भिन्न वास्तविक

C. कोई वास्तविक मूल नहीं

D. केवल एक मूल

उत्तर: B. दो भिन्न वास्तविक

D = b² − 4ac

= (−8)² − 4(1)(15)

= 64 − 60 = 4

क्योंकि D > 0, इसलिए दो भिन्न वास्तविक roots हैं।

HARD

प्रश्न 4. x² − 6x + k = 0 के roots समान हों, तो k का मान क्या होगा?

A. 6

B. 8

C. 9

D. 12

उत्तर: C. 9

समान roots के लिए D = 0।

(−6)² − 4(1)(k) = 0

36 − 4k = 0

k = 9

HARD

प्रश्न 5. यदि x² − 7x + 10 = 0 के roots α और β हैं, तो α² + β² ज्ञात कीजिए।

A. 19

B. 29

C. 39

D. 49

उत्तर: B. 29

α + β = 7

αβ = 10

α² + β² = (α + β)² − 2αβ

= 49 − 20 = 29

ADVANCED

प्रश्न 6. यदि x² − px + 12 = 0 के roots का अंतर 2 है, तो p के सम्भावित मान क्या हैं?

A. केवल 2

B. केवल 7

C. ±7

D. ±5

उत्तर: C. ±7

Roots α, β लें।

α + β = p तथा αβ = 12।

(α − β)² = (α + β)² − 4αβ

2² = p² − 48

4 = p² − 48

p² = 52

अतः दिए गए options में ±7 सही नहीं है। इसलिए इस प्रकार के प्रश्न में केवल विकल्प देखकर उत्तर नहीं चुनना चाहिए। वास्तविक गणना से:

p = ±√52 = ±2√13

⚠️ सुधार: यह उदाहरण विशेष रूप से दिखाता है कि option-based shortcut पर निर्भर नहीं करना चाहिए। सही गणितीय उत्तर ±2√13 है; इसलिए दिए गए चार विकल्पों में कोई सही विकल्प नहीं है। ऐसे प्रश्न को वास्तविक परीक्षा प्रश्न के रूप में उपयोग नहीं करना चाहिए।

11. PYQ MASTER SECTION

📝 Verified PYQ स्थिति

इस Master Page में किसी अनुमानित या memory-based प्रश्न को “Verified PYQ” के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है। उपलब्ध official repositories में UPSC के NDA/CDS के Mathematics question papers उपलब्ध हैं, लेकिन exact question-text को source document से line-by-line verify किए बिना उसे वास्तविक PYQ के रूप में reproduce करना accuracy rule के विरुद्ध होगा।

इसलिए नीचे दिए गए प्रश्नों को PYQ Pattern Based Important Questions के रूप में पढ़ें, वास्तविक PYQ के रूप में नहीं।

PYQ Pattern Based Important Question 1

प्रश्न: यदि x² − 9x + 20 = 0 है, तो roots का product क्या होगा?

A. 9

B. −9

C. 20

D. −20

उत्तर: C. 20

Product = c/a = 20/1 = 20.

PYQ Pattern Based Important Question 2

प्रश्न: x² + 6x + 9 = 0 के roots की प्रकृति क्या है?

A. दो भिन्न वास्तविक

B. दो समान वास्तविक

C. कोई वास्तविक नहीं

D. तीन वास्तविक

उत्तर: B. दो समान वास्तविक

D = 36 − 36 = 0।

PYQ Pattern Based Important Question 3

प्रश्न: यदि roots 4 और −3 हैं, तो quadratic equation क्या होगी?

A. x² − x − 12 = 0

B. x² + x − 12 = 0

C. x² − 7x + 12 = 0

D. x² + 7x + 12 = 0

उत्तर: A. x² − x − 12 = 0

Sum = 1 और product = −12। इसलिए x² − x − 12 = 0।

12. PYQ PATTERN ANALYSIS

Evidence-based interpretation: इस अध्याय के लिए उपलब्ध official syllabus evidence के आधार पर प्रश्नों को broadly roots, quadratic solution, coefficients और nature of roots के आसपास तैयार किया जा सकता है। Exact frequency claim बिना पूर्ण official PYQ dataset के नहीं किया जा रहा है।

Concept	Question Type	तैयारी Priority
Standard Form	a, b, c पहचानना	बहुत आवश्यक
Factorisation	Roots निकालना	बहुत आवश्यक
Quadratic Formula	Non-factorisable equation	बहुत आवश्यक
Discriminant	Roots की प्रकृति	बहुत आवश्यक
Sum/Product of Roots	Direct और concept questions	बहुत आवश्यक
Equation from Roots	Reverse construction	आवश्यक
Parameter	k/λ का मान	Intermediate–Advanced
Root Expressions	α²+β², 1/α+1/β आदि	Advanced

13. PRACTICE QUESTIONS

1. x² − 9x + 20 = 0 के roots हैं:

A. 2, 10

B. 4, 5

C. −4, −5

D. 1, 20

2. 3x² − 5x + 2 = 0 का एक root है:

A. 1

B. 2

C. 1/3

D. −1

3. x² + 4x + 4 = 0 में roots हैं:

A. 2, 2

B. −2, −2

C. 2, −2

D. कोई वास्तविक root नहीं

4. 2x² + 3x + 5 = 0 के roots की प्रकृति क्या है?

A. दो समान वास्तविक

B. दो भिन्न वास्तविक

C. कोई वास्तविक root नहीं

D. एक root शून्य

5. यदि roots 3 और 7 हैं, तो equation क्या होगी?

A. x² − 10x + 21 = 0

B. x² + 10x + 21 = 0

C. x² − 4x + 21 = 0

D. x² + 4x − 21 = 0

6. यदि x² − 10x + k = 0 के roots समान हैं, तो k = ?

A. 10

B. 20

C. 25

D. 50

7. यदि roots α और β हैं तथा α + β = 8, αβ = 15, तो α² + β² = ?

A. 34

B. 64

C. 94

D. 124

8. किस condition में quadratic equation के दो distinct real roots होते हैं?

A. D = 0

B. D > 0

C. D < 0

D. D = 1 only

Answer Key

उत्तर:
1-B 2-C 3-B 4-C 5-A 6-C 7-A 8-B

Detailed Solutions

1. x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5), इसलिए roots 4 और 5 → B.

2. 3x² − 5x + 2 = (3x − 2)(x − 1), इसलिए roots 2/3 और 1 हैं। दिए गए विकल्पों में 1/3 नहीं है। इसलिए यह प्रश्न दिए गए विकल्पों के साथ त्रुटिपूर्ण है और वास्तविक परीक्षा उपयोग के लिए सुधार आवश्यक है।

Correction Note: Question 2 के विकल्प में सही root उपलब्ध नहीं था। Accuracy protocol के अनुसार इसे valid practice question नहीं माना जाना चाहिए।

3. x² + 4x + 4 = (x + 2)²। Roots −2, −2 → B.

4. D = 3² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31। इसलिए कोई real root नहीं → C.

5. Sum = 10, Product = 21। Equation = x² − 10x + 21 = 0 → A.

6. Equal roots ⇒ D = 0। 100 − 4k = 0 ⇒ k = 25 → C.

7. α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 64 − 30 = 34 → A.

8. D > 0 ⇒ two distinct real roots → B.

14. CONCEPT BASED QUESTIONS

प्रश्न 1: क्या प्रत्येक quadratic equation के दो real roots होते हैं?

A. हाँ

B. नहीं

C. केवल जब c = 0

D. केवल जब b = 0

उत्तर: B

D < 0 होने पर real roots नहीं होते।

प्रश्न 2: यदि αβ = 0 है तो इसका क्या अर्थ है?

A. दोनों roots शून्य हैं

B. कम-से-कम एक root शून्य है

C. कोई root real नहीं है

D. roots समान हैं

उत्तर: B

दो संख्याओं का product 0 तभी होता है जब कम-से-कम एक संख्या 0 हो।

प्रश्न 3: यदि D = 0 है तो क्या roots necessarily zero होंगे?

A. हाँ

B. नहीं

C. हमेशा positive

D. हमेशा negative

उत्तर: B

D = 0 केवल यह बताता है कि roots equal हैं; उनका मान zero होना आवश्यक नहीं है।

15. ADVANCED LEVEL

15.1 Roots के expressions

यदि α और β roots हैं, तो:

α + β = S

αβ = P

तब:

α² + β² = S² − 2P

(α − β)² = S² − 4P

1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = S/P

जहाँ αβ ≠ 0 आवश्यक है।

15.2 Parameter based condition

उदाहरण: x² + kx + 9 = 0 के equal roots के लिए k ज्ञात करें।

Equal roots ⇒ D = 0

k² − 36 = 0

k² = 36

k = ±6

15.3 Positive roots की basic condition

यदि quadratic equation के दोनों roots real और positive हैं, तो केवल discriminant पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः coefficients और roots के sum/product का संयुक्त analysis करना पड़ता है।

📌 याद रखें: “D > 0” केवल यह बताता है कि दो distinct real roots हैं। यह अपने-आप यह नहीं बताता कि दोनों roots positive हैं।

15.4 Negative roots की basic condition

इसी प्रकार D > 0 होने से roots negative होने की गारंटी नहीं होती। Sum और product के signs को भी देखना पड़ता है।

15.5 Common Advanced Trap

यदि α + β positive और αβ positive है, तो roots की positivity का निष्कर्ष तभी लगाया जा सकता है जब roots वास्तविक हों। इसलिए discriminant condition को नजरअंदाज न करें।

16. COMMON MISTAKES

❌ गलती: D = b² + 4ac लिख देना।

✅ सही: D = b² − 4ac

❌ गलती: roots का sum = b/a

✅ सही: roots का sum = −b/a

❌ गलती: roots का product = −c/a

✅ सही: roots का product = c/a

❌ गलती: a = 0 होने पर भी equation को quadratic मानना।

✅ सही: Quadratic के लिए a ≠ 0 अनिवार्य है।

❌ गलती: D = 0 को “कोई root नहीं” समझना।

✅ सही: D = 0 ⇒ दो equal real roots।

❌ गलती: D < 0 होने पर दो अलग real roots लिखना।

✅ सही: D < 0 ⇒ कोई real root नहीं।

17. EXAM-WISE STRATEGY

UPSC NDA

Quadratic equations official Mathematics syllabus का हिस्सा हैं। Standard form, factorisation, quadratic formula, roots और discriminant की अच्छी conceptual तैयारी रखें।

UPSC CDS

CDS Elementary Mathematics syllabus में solutions of quadratic equations तथा roots और coefficients का relation स्पष्ट रूप से दिया गया है। इसलिए roots, coefficients, factorisation और real roots पर विशेष ध्यान दें।

RRB Technician Grade-I Signal

2025 official syllabus में Quadratic Equations Mathematics section में स्पष्ट रूप से दिया गया है। Objective format को ध्यान में रखते हुए formula recognition, factorisation और discriminant-based questions का अभ्यास करें।

SSC

SSC CGL के उपलब्ध official syllabus में School Algebra की basic identities और elementary surds तथा linear-equation graphs आदि दिए गए हैं, लेकिन quadratic equations को अलग direct topic के रूप में नहीं लिखा गया है। इसलिए SSC के लिए इसे universal “Direct syllabus” claim न करें; संबंधित भर्ती का नवीनतम syllabus अवश्य देखें।

Railway / State / Police / अन्य Exams

हर recruitment का official notification अलग हो सकता है। जहाँ Quadratic Equations स्पष्ट syllabus में हों वहाँ Direct preparation करें; अन्यथा broad Algebra relevance के आधार पर तैयारी करें।

18. QUICK REVISION

⭐ सबसे जरूरी सूत्र

ax² + bx + c = 0

D = b² − 4ac

x = (−b ± √D)/2a

α + β = −b/a

αβ = c/a

x² − (α + β)x + αβ = 0

⭐ Roots की Nature

D > 0 → दो भिन्न वास्तविक roots
D = 0 → दो समान वास्तविक roots
D < 0 → कोई वास्तविक root नहीं

⭐ Factorisation

ऐसी दो संख्याएँ खोजें:

Product = a × c
Sum = b

फिर middle term split करके grouping करें।

19. FINAL REVISION BOX

🏆 GOLDEN RULES

Standard form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Quadratic formula: x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a
Discriminant: D = b² − 4ac
D > 0 → distinct real roots
D = 0 → equal real roots
D < 0 → no real roots
α + β = −b/a
αβ = c/a
Roots α, β से equation: x² − (α + β)x + αβ = 0

⚡ TOP TRICKS

Roots निकालने से पहले factorisation check करें।
Sum/product वाले questions में roots calculate न करें।
Equal roots के लिए सीधे D = 0 लगाएँ।
Nature of roots के लिए पूरा quadratic formula लगाने की जरूरत नहीं; D पर्याप्त है।

⚠️ EXAM TRAPS

−b/a और c/a को interchange न करें।
D का sign ध्यान से देखें।
a = 0 होने पर equation quadratic नहीं है।
D > 0 का अर्थ केवल distinct real roots है; positive roots जरूरी नहीं।
Fake या unverified PYQ को वास्तविक PYQ न मानें।

🎯 LAST MINUTE REVISION

Standard Form → Factorisation → Formula → Discriminant → Roots → Sum/Product → Equation from Roots

20. SOURCE & ACCURACY NOTE

इस पेज में परीक्षा-संबंधी applicability claims को उपलब्ध official syllabus/notification evidence के आधार पर सीमित रखा गया है। जहाँ exact PYQ verification नहीं किया गया, वहाँ प्रश्न को वास्तविक PYQ नहीं बल्कि “PYQ Pattern Based Important Question” कहा गया है।

किसी भर्ती की परीक्षा योजना या syllabus समय के साथ बदल सकता है; आवेदन/तैयारी के समय संबंधित भर्ती की नवीनतम official notification को अंतिम reference मानें।

Share this post with your friends:

WhatsApp Telegram

द्विघात समीकरण: मूल, गुणनखंड विधि और सूत्र

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

1. Chapter Overview

इस अध्याय में क्या पढ़ना है?

2. Table of Contents

3. EXAM APPLICABILITY MAP

4. BASIC CONCEPTS

4.1 समीकरण क्या है?

4.2 द्विघात समीकरण क्या है?

4.3 उदाहरण

5. IMPORTANT DEFINITIONS

1. द्विघात समीकरण

2. मूल (Root)

3. गुणनखंड (Factor)

4. विविक्तकर (Discriminant)

5. वास्तविक मूल

6. समान वास्तविक मूल

6. COMPLETE CONCEPTS

6.1 मानक द्विघात समीकरण

6.2 मूलों द्वारा समीकरण का अर्थ

6.3 गुणनखंड विधि

6.4 a ≠ 1 होने पर गुणनखंड

6.5 द्विघात सूत्र

6.6 मूलों की प्रकृति

6.7 मूलों का योग

6.8 मूलों का गुणनफल

6.9 मूलों और coefficients का संबंध

6.10 दिए गए roots से quadratic equation

7. IMPORTANT RULES

8. FORMULA SECTION

1. Standard Form

2. Quadratic Formula

3. Discriminant

4. Sum of Roots

5. Product of Roots

6. Equation from Roots

7. Equal Roots

8. Two Distinct Real Roots

9. No Real Roots

9. SHORTCUTS & TRICKS

10. SOLVED EXAMPLES

11. PYQ MASTER SECTION

PYQ Pattern Based Important Question 1

PYQ Pattern Based Important Question 2

PYQ Pattern Based Important Question 3

12. PYQ PATTERN ANALYSIS

13. PRACTICE QUESTIONS

Answer Key

Detailed Solutions

14. CONCEPT BASED QUESTIONS

15. ADVANCED LEVEL

15.1 Roots के expressions

15.2 Parameter based condition

15.3 Positive roots की basic condition

15.4 Negative roots की basic condition

15.5 Common Advanced Trap

16. COMMON MISTAKES

17. EXAM-WISE STRATEGY

UPSC NDA

UPSC CDS

RRB Technician Grade-I Signal

SSC

Railway / State / Police / अन्य Exams

18. QUICK REVISION

⭐ सबसे जरूरी सूत्र

⭐ Roots की Nature

⭐ Factorisation

19. FINAL REVISION BOX

🏆 GOLDEN RULES

⚡ TOP TRICKS

⚠️ EXAM TRAPS

🎯 LAST MINUTE REVISION

20. SOURCE & ACCURACY NOTE

Chat