Trigonometry ( त्रिकोणमिति ) Heights and Distances Notes

SUBJECT: Mathematics → CHAPTER: Trigonometry

त्रिकोणमिति — Heights & Distances

मुख्य उप-विषय: Angle of Elevation, Angle of Depression और Simple Height-Distance Problems

यह अध्याय समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई, क्षैतिज दूरी या दृष्टि-रेखा से जुड़े प्रश्न हल करने की विधि सिखाता है।

🔥 Exam Point: इस अध्याय में सबसे पहले आकृति (figure) बनाना, Right Triangle पहचानना और यह तय करना आवश्यक है कि दिए गए कोण के सामने कौन-सी भुजा Opposite तथा कौन-सी Adjacent है।

📋 Table of Contents

1. Chapter Overview

2. Exam Applicability Map

3. Basic Concepts

4. Definitions

5. Complete Concepts

6. Important Rules

7. Formula Section

8. Shortcuts & Tricks

9. Solved Examples

10. PYQ Master

11. PYQ Pattern Analysis

12. Practice Questions

13. Concept Questions

14. Advanced Level

15. Common Mistakes

16. Exam-wise Strategy

17. Quick Revision

18. Final Revision Box

1. 📚 Chapter Overview

त्रिकोणमिति (Trigonometry) में कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है। Heights & Distances इसका अनुप्रयोगात्मक भाग है, जिसमें किसी ऊँची वस्तु, भवन, टावर, पेड़ आदि की ऊँचाई अथवा दो स्थानों के बीच दूरी ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग किया जाता है।

इस अध्याय के मुख्य Concepts

समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle)
Perpendicular, Base और Hypotenuse
sin, cos और tan
Angle of Elevation
Angle of Depression
ऊँचाई ज्ञात करना
क्षैतिज दूरी ज्ञात करना
एक ही वस्तु के अलग-अलग Elevation Angles
Simple Height-Distance Problems

✍️ याद रखें: Heights & Distances के अधिकांश सरल प्रश्नों में tan θ = Perpendicular / Base सबसे उपयोगी अनुपात होता है।

2. 🎯 Exam Applicability Map

Exam Category	Exam / Group	Relevance	Official Syllabus Evidence	Typical Level	Pattern
SSC	CGL	🟢 Direct	Trigonometric ratio, Complementary angles तथा Heights and Distances syllabus में स्पष्ट रूप से दिए गए हैं।	Basic–Medium	Objective numerical
SSC	Selection Post तथा समान Quantitative Aptitude examinations	🟢 Direct	SSC के संबंधित official notices में Trigonometry तथा Heights and Distances शामिल हैं।	Basic–Medium	Objective numerical
Railway	RRB NTPC	🟡 Related/Direct Topic Family	Official CEN में Mathematics के अंतर्गत Geometry and Trigonometry दिया गया है।	Basic–Medium	Objective numerical
Defence	NDA/NA	🟢 Direct	Official syllabus में Trigonometry के अंतर्गत Applications—Height and distance दिया गया है।	Medium–Advanced	Objective Mathematics
Defence	CDS	🟡 Related	Elementary Mathematics में Trigonometry/Geometry का अध्ययन प्रासंगिक है; exact subtopic evidence संबंधित notification/syllabus से देखा जाना चाहिए।	Basic–Medium	Objective Mathematics
Banking	IBPS/SBI आदि	🟠 Limited/Exam-dependent	इस specific chapter के लिए सभी भर्ती परीक्षाओं में एक समान official syllabus evidence नहीं माना जाएगा।	Exam-dependent	Notification dependent
UPSC CSE	CSE Prelims	🔴 Not a standard direct topic	इस अध्याय को CSE Prelims का direct Mathematics syllabus topic नहीं माना गया है।	—	—
Engineering/Technical	Engineering/Technical recruitment	🟠 Exam-dependent	Post/discipline-specific syllabus आवश्यक है। Technical Mathematics में Trigonometry अधिक गहराई से आ सकती है।	Medium–Advanced	Discipline dependent

📌 Evidence Note: SSC के official syllabus में “Heights and Distances (simple problems only)” स्पष्ट रूप से दिया गया है। RRB NTPC official CEN में Mathematics में “Geometry and Trigonometry” शामिल है। NDA official syllabus में Trigonometry के Applications में “Height and distance” स्पष्ट रूप से दिया गया है।

3. 🟢 Basic Concepts

3.1 समकोण त्रिभुज

जिस त्रिभुज का एक कोण 90° हो, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं। Heights & Distances के प्रश्न सामान्यतः इसी प्रकार की आकृति में बदल दिए जाते हैं।

A |\ | \ | \ Hypotenuse Height | \ | \ |_____\ B C Base

AB = Perpendicular / Height
BC = Base / Horizontal Distance
AC = Hypotenuse / Line of Sight

3.2 त्रिकोणमितीय अनुपात

sin θ = Perpendicular / Hypotenuse

cos θ = Base / Hypotenuse

tan θ = Perpendicular / Base

cot θ = Base / Perpendicular

sec θ = Hypotenuse / Base

cosec θ = Hypotenuse / Perpendicular

✍️ सबसे महत्वपूर्ण: यदि Question में केवल Height और Horizontal Distance का संबंध चाहिए, तो सामान्यतः tan θ उपयोगी होता है।

4. 📖 Important Definitions

Angle of Elevation — उन्नयन कोण

जब किसी व्यक्ति की आँख से किसी ऊँची वस्तु के शीर्ष की ओर देखने पर दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच ऊपर की ओर कोण बनता है, उसे Angle of Elevation कहते हैं।

Top * /| / | / | Height / θ | ------*----*--------- Observer Base Horizontal Line

Angle of Depression — अवनमन कोण

जब किसी ऊँचे स्थान से किसी नीचे स्थित वस्तु की ओर देखा जाता है और दृष्टि-रेखा क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर जाती है, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि-रेखा के बीच बनने वाला कोण Angle of Depression कहलाता है।

🔥 महत्वपूर्ण नियम: यदि Horizontal Lines parallel हैं, तो Angle of Depression का मान नीचे वाले बिंदु पर बनने वाले corresponding/alternate angle के कारण संबंधित Angle of Elevation के बराबर हो सकता है।

Line of Sight

Observer की आँख और देखी जा रही वस्तु के बिंदु को जोड़ने वाली सीधी रेखा को Line of Sight कहते हैं।

5. 🧠 Complete Concepts

5.1 Height ज्ञात करना

यदि किसी वस्तु की ऊँचाई h और उससे क्षैतिज दूरी d है तथा शीर्ष का Angle of Elevation θ है, तो:

tan θ = h / d

h = d tan θ

5.2 Horizontal Distance ज्ञात करना

d = h / tan θ

5.3 Line of Sight ज्ञात करना

यदि Hypotenuse/Line of Sight L और angle θ दिया हो:

sin θ = h / L
h = L sin θ

और:

cos θ = d / L
d = L cos θ

5.4 Standard Angles

θ	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	1/√2	1/√2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	परिभाषित नहीं

5.5 Complementary Angles

sin(90° − θ) = cos θ
cos(90° − θ) = sin θ
tan(90° − θ) = cot θ

6. ⚠️ Important Rules, Conditions & Traps

सबसे पहले figure बनाएं।
Horizontal distance को Base मानें।
ऊँचाई को Perpendicular मानें।
Observer की स्थिति और object की स्थिति स्पष्ट करें।
Angle of Elevation में angle सामान्यतः horizontal line और upward line of sight के बीच लिया जाता है।
Angle of Depression में horizontal reference line आवश्यक है।
यदि Observer की eye height दी गई है तो केवल tower की पूर्ण ऊँचाई और eye-level तक की ऊँचाई को अलग-अलग रखें।
एक ही object के लिए दो observers हों तो दोनों triangles को सही दिशा में बनाएं।
उत्तर की unit वही रखें जो Question में दी गई है।
Calculator के बिना standard angles के exact values का उपयोग करें जब संभव हो।

⚠️ Exam Trap: Angle of Depression को सीधे “tower से नीचे की ओर बना angle” मानकर formula लगाने से पहले figure बनाएं। Horizontal line का स्थान गलत लेने पर पूरा answer गलत हो सकता है।

7. 🧮 Formula Section

Formula 1 — Height

h = d tan θ

कब: Horizontal distance और angle दिया हो।

Symbols: h = height, d = horizontal distance, θ = angle.

Formula 2 — Distance

d = h / tan θ

कब: Height और angle दिया हो।

Formula 3 — Height from Line of Sight

h = L sin θ

L = Line of Sight.

Formula 4 — Distance from Line of Sight

d = L cos θ

Formula 5 — Pythagoras

L² = h² + d²

समकोण त्रिभुज में Hypotenuse का वर्ग = अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों का योग।

Formula 6 — Basic Identity

sin²θ + cos²θ = 1

Formula 7

1 + tan²θ = sec²θ

Formula 8

1 + cot²θ = cosec²θ

8. ⚡ Shortcuts & Tricks

⚡ Trick 1 — “ऊँचाई ÷ दूरी”

जब Question में Height और Horizontal Distance का संबंध हो, पहले tan θ = Height / Distance लिखें।

उपयोग: Tower, building, pole, tree आदि के simple questions.

न करें: जब दिया गया angle और sides इस ratio से संबंधित न हों।

⚡ Trick 2 — Standard Angle पहचानें

30°, 45°, 60° आते ही पहले standard values लिखें।

45° पर tan 45° = 1, इसलिए height और distance बराबर होते हैं।

⚡ Trick 3 — Figure First

Question पढ़ते ही तीन चीजें चिन्हित करें:

Height → perpendicular
Ground distance → base
देखने की रेखा → hypotenuse

⚡ Trick 4 — Depression को Elevation में बदलें

Parallel horizontal lines की स्थिति में corresponding/alternate angle relationship से नीचे के point पर संबंधित elevation angle निर्धारित किया जा सकता है।

9. 📝 Solved Examples

🟢 Basic

Example 1

एक खंभे से 20 m दूर किसी बिंदु से उसके शीर्ष का Angle of Elevation 30° है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात करें।

A. 10√3 m

B. 20/√3 m

C. 20√3 m

D. 40 m

सही उत्तर: B. 20/√3 m

हल:
tan 30° = h/20
1/√3 = h/20
अतः h = 20/√3 m = 20√3/3 m.

Concept: h = d tan θ

🟢 Basic

Example 2

किसी भवन के आधार से 30 m दूर बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है। भवन की ऊँचाई कितनी है?

A. 15 m

B. 30 m

C. 30√3 m

D. 60 m

सही उत्तर: B. 30 m

tan 45° = h/30
1 = h/30
h = 30 m

🟡 Medium

Example 3

एक टावर की ऊँचाई 20 m है। उसके शीर्ष का Angle of Elevation 60° होने पर observer की tower से क्षैतिज दूरी ज्ञात करें।

A. 20√3 m

B. 20/√3 m

C. 10√3 m

D. 10 m

सही उत्तर: B. 20/√3 m

tan 60° = 20/d
√3 = 20/d
d = 20/√3 m

🟡 Medium

Example 4

एक 10 m लंबी सीढ़ी जमीन के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार पर सीढ़ी का ऊपरी सिरा कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगा?

A. 5 m

B. 5√3 m

C. 10√3 m

D. 20 m

सही उत्तर: B. 5√3 m

sin 60° = h/10
√3/2 = h/10
h = 5√3 m

🟠 Hard

Example 5 — Angle of Depression

एक टावर के शीर्ष से जमीन पर स्थित किसी बिंदु का Angle of Depression 45° है। यदि टावर की ऊँचाई 40 m है, तो उस बिंदु की टावर के आधार से क्षैतिज दूरी ज्ञात करें।

A. 20 m

B. 40 m

C. 40√3 m

D. 80 m

सही उत्तर: B. 40 m

Depression angle = संबंधित elevation angle = 45°.
tan 45° = 40/d
1 = 40/d
d = 40 m

🔴 Advanced

Example 6 — Two Positions

एक टावर की ऊँचाई h है। जमीन पर एक ही सीधी रेखा में दो बिंदुओं से उसके शीर्ष के Angle of Elevation क्रमशः 30° और 60° हैं। यदि दोनों बिंदुओं के बीच दूरी d है और 60° वाला बिंदु टावर के अधिक निकट है, तो दूरी संबंध स्थापित करें।

मान लें निकट बिंदु की tower से दूरी x है।
tan 60° = h/x ⇒ h = x√3
दूर बिंदु की दूरी = x+d.
tan 30° = h/(x+d)
1/√3 = h/(x+d)
x+d = h√3 = 3x
अतः d = 2x और इसलिए x = d/2 तथा h = √3d/2।

10. 📝 PYQ Master Section

🔎 Verification Status

इस Notes Page में किसी unverified question को वास्तविक PYQ के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है। उपलब्ध official syllabus evidence से यह chapter SSC तथा NDA जैसे examinations में स्पष्ट रूप से relevant है।

Verified PYQ: इस consolidated page के लिए नीचे दिए गए questions को वास्तविक वर्ष/shift के PYQ के रूप में claim नहीं किया गया है क्योंकि exact wording, paper और official answer-key mapping को एक साथ independently verify किए बिना उन्हें PYQ कहना accuracy rule के विरुद्ध होगा।

अतः नीचे के प्रश्न “PYQ Pattern Based Important Question” के रूप में दिए गए हैं।

📝 PYQ Pattern Based Question 1

एक मीनार के आधार से 30 m दूर एक बिंदु से शीर्ष का elevation angle 45° है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?

A. 15 m

B. 30 m

C. 30√3 m

D. 60 m

उत्तर: B

📝 PYQ Pattern Based Question 2

एक 20 m ऊँचे टावर के शीर्ष से किसी बिंदु का Angle of Depression 30° है। टावर के आधार से उस बिंदु की दूरी क्या होगी?

A. 20√3 m

B. 20/√3 m

C. 10√3 m

D. 40 m

उत्तर: A

tan 30° = 20/d
1/√3 = 20/d
d = 20√3 m

11. 📊 PYQ Pattern Analysis

SSC: Official syllabus में Heights and Distances को simple problems के साथ explicitly रखा गया है; इसलिए basic right-triangle application महत्वपूर्ण है।
Railway: Official NTPC syllabus Mathematics में Geometry and Trigonometry शामिल है; exact chapter-wise weightage notification में अलग से नहीं दिया गया है।
NDA: Trigonometry के Applications में Height and distance explicitly दिया गया है, इसलिए concept को standard school-level trigonometry से आगे application problems में तैयार करना उपयोगी है।
Difficulty: Simple exam questions में standard angles और सीधे tan/sin/cos application की आवश्यकता होती है; advanced questions में दो positions, eye-height या multiple triangles आ सकते हैं।

⚠️ Frequency Warning: बिना पर्याप्त verified papers के किसी particular subtopic की exact frequency जैसे “हर परीक्षा में इतने प्रश्न” कहना उचित नहीं है।

12. 🎯 Practice Questions

Q1. यदि tan θ = 3/4 है, तो perpendicular : base क्या होगा?

A. 3:4

B. 4:3

C. 3:5

D. 4:5

Q2. 45° के Angle of Elevation पर 50 m की horizontal distance वाले point से tower की height कितनी होगी?

A. 25 m

B. 50 m

C. 50√2 m

D. 100 m

Q3. यदि tower की height 30 m और elevation angle 30° है, तो horizontal distance क्या होगी?

A. 10√3 m

B. 30√3 m

C. 15√3 m

D. 60 m

Q4. 10 m की ladder जमीन से 30° का angle बनाती है। दीवार पर उसकी ऊँचाई कितनी होगी?

A. 5 m

B. 5√3 m

C. 10√3 m

D. 20 m

Q5. 15 m ऊँचे भवन के शीर्ष से किसी बिंदु का depression angle 45° है। भवन से उस बिंदु की horizontal distance क्या है?

A. 5 m

B. 10 m

C. 15 m

D. 30 m

Q6. यदि hypotenuse 20 m और angle 30° है, तो perpendicular कितनी होगी?

A. 5 m

B. 10 m

C. 10√3 m

D. 20 m

Q7. यदि tan θ = 1, तो θ का acute value क्या है?

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Q8. यदि h = 20 m और d = 20√3 m है, तो elevation angle क्या होगा?

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Answer Key

Q1-A | Q2-B | Q3-B | Q4-A | Q5-C | Q6-B | Q7-B | Q8-A

Detailed Solutions

Q1: tan θ = P/B = 3/4 ⇒ P:B = 3:4.
Q2: h = d tan45° = 50 × 1 = 50 m.
Q3: tan30° = 30/d ⇒ d = 30√3 m.
Q4: h = 10 sin30° = 5 m.
Q5: Depression = Elevation = 45°; tan45° = 15/d ⇒ d = 15 m.
Q6: h = 20 sin30° = 10 m.
Q7: tan45° = 1 ⇒ θ = 45°.
Q8: tanθ = 20/(20√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.

13. 🧠 Concept Based Questions

Concept 1

यदि किसी object के लिए observer की दूरी समान रहे और Angle of Elevation बढ़ जाए, तो सामान्यतः apparent height relation में क्या परिवर्तन होगा?

A. tan θ बढ़ने के कारण calculated height बढ़ेगी

B. height हमेशा शून्य होगी

C. distance स्वतः शून्य होगी

D. कोई त्रिकोण नहीं बनेगा

उत्तर: A

Concept 2

Angle of Elevation और Angle of Depression के प्रश्न में horizontal line क्यों महत्वपूर्ण है?

A. यह angle reference देती है

B. यह height को हमेशा double करती है

C. यह hypotenuse को हटाती है

D. इसका कोई उपयोग नहीं

उत्तर: A

Concept 3

यदि θ = 45° हो तो Height और Horizontal Distance के बीच क्या संबंध होगा?

उत्तर: tan45° = 1, इसलिए h/d = 1 ⇒ h = d.

14. 🔴 Advanced Level

Advanced Problem 1 — Two Angles

एक tower के एक ही तरफ दो points A और B हैं। B tower के अधिक निकट है। A और B से top के elevation angles क्रमशः 30° और 60° हैं। यदि A और B के बीच दूरी 40 m है, तो tower की height ज्ञात करें।

मान लें B से tower की दूरी = x.
तब A से दूरी = x + 40.
60° से: h = x√3.
30° से: h = (x+40)/√3.
दोनों बराबर:
x√3 = (x+40)/√3
3x = x + 40
2x = 40
x = 20.
अतः h = 20√3 m.

उत्तर: 20√3 m

Advanced Problem 2 — Eye Height

यदि observer की आँख जमीन से e ऊँचाई पर है और object के top का angle of elevation θ है, तो object की कुल height H और observer से horizontal distance d के बीच संबंध क्या होगा?

H − e = d tan θ
H = e + d tan θ

यहाँ tan θ केवल eye-level से object-top तक की vertical difference पर लागू होता है।

15. ❌ Common Mistakes

❌ गलती: Height को Base और Distance को Perpendicular मान लेना।

✅ सही तरीका: Figure बनाकर vertical side = height और horizontal side = distance रखें।

❌ गलती: sin की जगह tan लगा देना।

✅ सही तरीका: पहले देखें कौन-सी sides ज्ञात हैं। Height/Base → tan, Height/Hypotenuse → sin.

❌ गलती: Angle of Depression को बिना figure के सीधे equation में रखना।

✅ सही तरीका: Horizontal line draw करके corresponding elevation relation स्थापित करें।

❌ गलती: Eye height को tower की total height मान लेना।

✅ सही तरीका: यदि eye height दी हो तो H − e को triangle की perpendicular मानें।

❌ गलती: 30°, 45°, 60° की standard values भूल जाना।

✅ सही तरीका: Standard trigonometric table को नियमित revise करें।

16. 🏆 Exam-wise Strategy

SSC Strategy

Official syllabus में Heights and Distances के simple problems स्पष्ट रूप से दिए गए हैं। इसलिए standard angles, tan/sin/cos और basic diagrams पर मजबूत पकड़ रखें।

Railway Strategy

Official NTPC syllabus Mathematics में Geometry and Trigonometry शामिल है। Basic trigonometric ratios और direct application questions के साथ arithmetic calculation speed पर ध्यान दें।

NDA Strategy

NDA syllabus में Trigonometry का application “Height and distance” के रूप में explicitly दिया गया है। इसलिए standard school-level concepts के साथ multi-step application problems भी तैयार करें।

Defence/Other Exams

हर examination का exact syllabus अलग हो सकता है। Notification में Trigonometry/Height-Distance का स्पष्ट evidence होने पर ही इसे direct topic मानें।

🎯 Universal Solving Strategy:
Figure → Given Data → Angle Identify → Right Triangle → सही Ratio → Equation → Calculation → Unit Check → Answer.

17. ⚡ Quick Revision

Top Concepts

Right Triangle
Perpendicular = Height
Base = Horizontal Distance
Hypotenuse = Line of Sight
Angle of Elevation
Angle of Depression

Top Formulas

tan θ = h/d

h = d tan θ

d = h/tan θ

h = L sin θ

d = L cos θ

L² = h² + d²

sin²θ + cos²θ = 1

Standard Values

tan30° = 1/√3 | tan45° = 1 | tan60° = √3

Golden Rule

Height ÷ Horizontal Distance = tan θ

18. 🏆 Final Revision Box

🔥 GOLDEN RULES

Figure पहले बनाएं।
Vertical = Height.
Horizontal = Distance.
Line of sight = Hypotenuse.
Height/Base = tan.
Height/Hypotenuse = sin.
Base/Hypotenuse = cos.
Depression question में horizontal reference line न भूलें।
Eye height को अलग रखें।
Final answer की unit check करें।

⚡ TOP TRICKS

45° ⇒ Height = Distance.
30° ⇒ tan = 1/√3.
60° ⇒ tan = √3.
दो angles हों तो दो right triangles बनाएं।
Complex-looking question को पहले geometry में बदलें।

🎯 LAST-MINUTE REVISION

SOH: sin = Perpendicular/Hypotenuse

CAH: cos = Base/Hypotenuse

TOA: tan = Perpendicular/Base

🏆 Most Important Areas

Angle of Elevation
Angle of Depression
tan-based height-distance questions
Standard angles
Two-position problems
Eye-height problems
Simple line-of-sight problems

🔥 Final Exam Formula:
Question → Figure → Right Triangle → Ratio → Formula → Solve → Verify.

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