📘 अंकगणित — औसत (Average)
UPSSSC PET के लिए Basic से Advanced तक Complete Notes | Formula | Rules | Tricks | Solved Examples | PYQ Pattern | Practice Set
📑 विषय सूची (Table of Contents)
1️⃣ Chapter Introduction — औसत क्या है?
औसत (Average) किसी समूह की सभी राशियों का ऐसा प्रतिनिधि मान है जो पूरे समूह की सामान्य या औसत स्थिति को दर्शाता है।
उदाहरण के लिए, यदि पाँच विद्यार्थियों के अंक 40, 50, 60, 70 और 80 हैं, तो इन अंकों का औसत हमें बताता है कि सामान्य रूप से एक विद्यार्थी ने कितने अंक प्राप्त किए।
🎯 UPSSSC PET में औसत क्यों महत्वपूर्ण है?
- यह अंकगणित का मूलभूत और अत्यंत उपयोगी Topic है।
- औसत के प्रश्न Percentage, Ratio, Age, Time तथा Data Interpretation से भी जुड़े हो सकते हैं।
- कई प्रश्न सीधे Formula से तथा कई प्रश्न Shortcut या Concept से हल होते हैं।
- औसत बढ़ने या घटने, व्यक्ति के जुड़ने/हटने तथा Combined Average के प्रश्न महत्वपूर्ण हैं।
2️⃣ Basic Concepts — बिल्कुल आसान भाषा में
औसत निकालने की Step-by-Step विधि
मान लीजिए तीन संख्याएँ हैं: 10, 20 और 30
- सभी संख्याओं का योग करें: 10 + 20 + 30 = 60
- कुल संख्याएँ गिनें: 3
- योग को संख्या से भाग दें: 60 ÷ 3 = 20
औसत और कुल योग का संबंध
यदि किसी समूह का औसत और कुल सदस्यों की संख्या ज्ञात है, तो कुल योग तुरंत निकाला जा सकता है।
कुल योग = औसत × कुल संख्याउदाहरण: 8 विद्यार्थियों का औसत अंक 45 है।
कुल अंक = 45 × 8 = 360
3️⃣ Important Definitions
सभी राशियों के योग को उनकी कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त मान।
समूह में उपस्थित सभी राशियों को जोड़ने पर प्राप्त परिणाम।
दो या अधिक समूहों को मिलाकर प्राप्त औसत।
जब अलग-अलग राशियों या समूहों का महत्व/संख्या अलग-अलग हो और उसी अनुपात में औसत निकाला जाए।
लगातार आने वाली संख्याएँ, जैसे 11, 12, 13, 14, 15।
4️⃣ Important Rules & Concepts
Rule 1: सभी संख्याओं में समान संख्या जोड़ने पर
यदि प्रत्येक संख्या में k जोड़ा जाए, तो औसत भी k बढ़ जाएगा।
उदाहरण: औसत 25 है और प्रत्येक संख्या में 4 जोड़ दिया जाए।
नया औसत = 25 + 4 = 29
Rule 2: सभी संख्याओं में समान संख्या घटाने पर
नया औसत = पुराना औसत − kRule 3: सभी संख्याओं को k से गुणा करने पर
नया औसत = पुराना औसत × kRule 4: सभी संख्याओं को k से भाग देने पर
नया औसत = पुराना औसत ÷ kRule 5: व्यक्ति जोड़ने या हटाने का Concept
हमेशा पहले पुराना कुल योग निकालें। फिर नए व्यक्ति की राशि जोड़ें या हटाए गए व्यक्ति की राशि घटाएँ।
Average Questions → पहले Total Sum में बदलें → आवश्यक परिवर्तन करें → फिर नई संख्या से Divide करें।
Rule 6: लगातार संख्याओं का औसत
समान अंतर वाली लगातार संख्याओं का औसत सामान्यतः बीच का मान होता है।
- विषम संख्या में पद → ठीक बीच का पद औसत होगा।
- सम संख्या में पद → बीच के दो पदों का औसत होगा।
उदाहरण: 11, 13, 15, 17, 19 का औसत = 15
Rule 7: Arithmetic Progression का औसत
यदि संख्याएँ समान अंतर में हैं:
औसत = (पहला पद + अंतिम पद) ÷ 25️⃣ Complete Formula Section
कब उपयोग करें? जब सभी संख्याएँ ज्ञात हों।
Example: 5, 10, 15 का औसत = 30 ÷ 3 = 10
कब उपयोग करें? जब औसत और संख्या ज्ञात हों।
Example: 12 व्यक्तियों का औसत 25 → कुल = 12 × 25 = 300
⚠️ केवल तब जब दोनों समूहों में व्यक्तियों की संख्या समान हो।
शर्त: संख्याएँ समान अंतर वाली हों।
यदि n व्यक्तियों का औसत d बढ़ता है:
कुल योग में वृद्धि = n × d⚡ Tricks and Shortcut Methods
संख्याएँ: 12, 16, 20, 24, 28
सीधे पहला और अंतिम जोड़ें:
(12 + 28) ÷ 2 = 20यदि 10 व्यक्तियों का औसत 30 से 35 हो गया:
औसत में वृद्धि = 5
कुल वृद्धि = 10 × 5 = 50
यदि किसी समूह में नया व्यक्ति पुराने औसत से अधिक अंक लेकर आता है, तो औसत बढ़ेगा।
यदि कम अंक लेकर आता है, तो औसत घटेगा।
9 लगातार संख्याओं का औसत = बीच वाली संख्या।
उदाहरण: 21 से 29 तक → बीच वाली संख्या 25
औसत हमेशा समूह की न्यूनतम और अधिकतम संख्या के बीच या बराबर होगा।
यदि Options में कोई उत्तर इस सीमा से बाहर है, तो सामान्य औसत के लिए उसे तुरंत हटाया जा सकता है।
📝 Solved Examples — Basic से Advanced
प्रश्न 1. 10, 20, 30, 40 और 50 का औसत ज्ञात कीजिए।
Solution:
योग = 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150
कुल संख्याएँ = 5
औसत = 150 ÷ 5 = 30
Concept Used: Basic Average Formula
प्रश्न 2. 8 विद्यार्थियों के अंकों का औसत 45 है। कुल अंक कितने हैं?
कुल योग = औसत × संख्या
= 45 × 8 = 360
प्रश्न 3. 5 व्यक्तियों की औसत आयु 24 वर्ष है। एक व्यक्ति की आयु 30 वर्ष है और वह समूह छोड़ देता है। शेष 4 व्यक्तियों की औसत आयु ज्ञात कीजिए।
पुराना कुल योग = 5 × 24 = 120
30 वर्ष वाले व्यक्ति के जाने के बाद:
नया योग = 120 − 30 = 90
नया औसत = 90 ÷ 4 = 22.5 वर्ष
Concept Used: Person Leaving Average
प्रश्न 4. 10 विद्यार्थियों का औसत अंक 40 है। एक नया विद्यार्थी जुड़ने पर औसत 42 हो जाता है। नए विद्यार्थी के अंक कितने हैं?
पुराना कुल योग = 10 × 40 = 400
11 विद्यार्थियों का नया कुल योग = 11 × 42 = 462
नए विद्यार्थी के अंक = 462 − 400 = 62
Shortcut: औसत में वृद्धि से कुल परिवर्तन = 10 × 2 = 20, लेकिन नया विद्यार्थी जुड़ने के कारण अंतिम औसत 42 के आधार पर नया सदस्य का मान = 42 + 20 = 62।
प्रश्न 5. 20 विद्यार्थियों का औसत अंक 50 है। बाद में पता चला कि एक विद्यार्थी के 70 अंक की जगह 40 अंक दर्ज कर दिए गए थे। सही औसत क्या होगा?
गलत कुल योग = 20 × 50 = 1000
सही अंक 70 हैं, जबकि 40 दर्ज किए गए।
अंतर = 70 − 40 = 30
सही कुल योग = 1000 + 30 = 1030
सही औसत = 1030 ÷ 20 = 51.5
प्रश्न 6. एक कक्षा में 30 लड़कों का औसत अंक 60 तथा 20 लड़कियों का औसत अंक 70 है। पूरी कक्षा का औसत ज्ञात कीजिए।
लड़कों का कुल = 30 × 60 = 1800
लड़कियों का कुल = 20 × 70 = 1400
कुल अंक = 3200
कुल विद्यार्थी = 50
संयुक्त औसत = 3200 ÷ 50 = 64
Concept Used: Combined Average
🔥 PYQ Pattern Based Important Questions
प्रश्न 1. 15 संख्याओं का औसत 20 है। यदि प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?
प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ने पर औसत भी 5 बढ़ेगा।
नया औसत = 20 + 5 = 25
Shortcut: संख्या कितनी हैं, इसकी आवश्यकता नहीं है।
प्रश्न 2. 9 लगातार विषम संख्याओं का औसत 31 है। सबसे बड़ी संख्या क्या होगी?
9 लगातार विषम संख्याओं में औसत बीच वाली संख्या होगी।
औसत = 31
दो-दो के अंतर से चार संख्याएँ आगे:
33, 35, 37, 39
प्रश्न 3. 12 व्यक्तियों का औसत 40 है। दो व्यक्तियों के स्थान पर दो नए व्यक्ति आते हैं और औसत 2 बढ़ जाता है। नए दो व्यक्तियों के अंकों का योग पुराने दो व्यक्तियों के योग से कितना अधिक है?
औसत में वृद्धि = 2
कुल व्यक्ति = 12
कुल योग में वृद्धि = 12 × 2 = 24
🔴 Advanced Level Concepts
1. Replacement Questions
जब किसी व्यक्ति को हटाकर दूसरे व्यक्ति को शामिल किया जाता है और कुल व्यक्तियों की संख्या समान रहती है:
औसत में परिवर्तन × कुल व्यक्ति = नए मान और पुराने मान का अंतरप्रश्न: 25 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹20,000 है। एक कर्मचारी के स्थान पर नया कर्मचारी आने पर औसत ₹400 बढ़ जाता है। नए कर्मचारी का वेतन पुराने कर्मचारी से कितना अधिक है?
औसत वृद्धि = ₹400
कुल कर्मचारी = 25
कुल वेतन वृद्धि = 25 × 400 = ₹10,000
2. Weighted Average का महत्वपूर्ण Concept
दो समूहों का औसत केवल दोनों औसतों को जोड़कर 2 से भाग देने से हमेशा नहीं निकलेगा।
10 छात्रों का औसत 40 और 30 छात्रों का औसत 60 है।
गलत तरीका: (40 + 60) ÷ 2 = 50 ❌
सही तरीका: (10×40 + 30×60) ÷ 40 = 55 ✅
3. Traditional Method vs Shortcut Method
📘 Traditional Method
- पहले कुल योग निकालें।
- परिवर्तन करें।
- नई संख्या से Divide करें।
- जटिल प्रश्नों में सुरक्षित।
⚡ Shortcut Method
- औसत में अंतर पहचानें।
- कुल व्यक्तियों से गुणा करें।
- Replacement Questions में तेज।
- Concept स्पष्ट होना आवश्यक।
⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं
✅ सही तरीका: Average × Number = Total Sum।
✅ सही तरीका: प्रत्येक समूह के व्यक्तियों की संख्या को ध्यान में रखें।
✅ सही तरीका: नया व्यक्ति जुड़ने पर +1 और हटने पर −1 करें।
✅ सही तरीका: सही मान और दर्ज मान का अंतर ध्यान से देखें।
🎯 Practice Questions
🟢 BASIC LEVEL
1. 12, 18, 24, 30 और 36 का औसत क्या है?
2. 16 विद्यार्थियों का औसत अंक 25 है। कुल अंक कितने हैं?
🟡 MEDIUM LEVEL
3. 7 व्यक्तियों की औसत आयु 30 वर्ष है। एक 42 वर्षीय व्यक्ति के हटने पर शेष की औसत आयु क्या होगी?
4. 8 संख्याओं का औसत 15 है। यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?
🟠 HARD LEVEL
5. 20 विद्यार्थियों का औसत 45 है। एक नया विद्यार्थी शामिल होने पर औसत 46 हो जाता है। नए विद्यार्थी के अंक कितने हैं?
6. 10 पुरुषों की औसत आयु 40 वर्ष तथा 15 महिलाओं की औसत आयु 30 वर्ष है। सभी की औसत आयु क्या है?
🔴 ADVANCED LEVEL
7. 30 विद्यार्थियों का औसत 50 है। दो विद्यार्थियों के अंक गलती से 40 और 60 की जगह 50 और 70 दर्ज किए गए। सही औसत क्या होगा?
8. 15 कर्मचारियों का औसत वेतन ₹30,000 है। एक कर्मचारी के स्थान पर नया कर्मचारी आने से औसत ₹1,000 बढ़ जाता है। नए कर्मचारी का वेतन पुराने कर्मचारी से कितना अधिक है?
### Answer Key
### Detailed Solutions
शेष आयु = 210 − 42 = 168।
नया औसत = 168 ÷ 6 = 28।
नया औसत = 15 + 3 = 18।
नया कुल = 21 × 46 = 966।
नए विद्यार्थी के अंक = 966 − 900 = 66।
महिलाओं की कुल आयु = 15 × 30 = 450।
कुल = 850, व्यक्ति = 25।
औसत = 850 ÷ 25 = 34।
वास्तविक दो अंकों का योग = 40 + 60 = 100।
दर्ज दो अंकों का योग = 50 + 70 = 120।
गलत कुल वास्तविक कुल से 20 अधिक है।
सही कुल = 1500 − 20 = 1480।
सही औसत = 1480 ÷ 30 = 49⅓।
कुल कर्मचारी = 15।
कुल वेतन वृद्धि = 15 × 1,000 = ₹15,000।
इसलिए नए कर्मचारी का वेतन पुराने कर्मचारी से ₹15,000 अधिक है।
🚀 UPSSSC PET Exam Strategy — औसत
सीधे Formula वाले Average Questions पहले हल करें।
जटिल प्रश्नों में Average को सीधे सोचने के बजाय Total Sum में बदलें।
दो समूहों के Average को सीधे जोड़कर 2 से Divide न करें, जब तक दोनों समूहों का आकार समान न हो।
यदि प्रश्न में समान अंतर वाली संख्याएँ हों, तो बीच के मान से उत्तर जल्दी निकाला जा सकता है।
यदि प्रश्न में कई परिवर्तन हों, पहले Data व्यवस्थित करें और फिर Calculation करें।
⚡ Quick Revision
औसत = कुल योग ÷ कुल संख्या
कुल योग = औसत × कुल संख्या
औसत भी उतना ही बढ़ता है।
औसत भी उतना ही घटता है।
औसत = (पहला + अंतिम) ÷ 2
(n₁A₁ + n₂A₂) ÷ (n₁ + n₂)
औसत परिवर्तन × कुल व्यक्ति = कुल अंतर
अलग-अलग आकार के समूहों के औसत का साधारण औसत न लें।
🏆 FINAL REVISION BOX — Average
- Golden Rule: Average Questions को जरूरत पड़ने पर पहले Total Sum में बदलें।
- Top Formula: Average = Sum ÷ Number
- Total Formula: Sum = Average × Number
- Combined Average: (n₁A₁ + n₂A₂) ÷ Total Number
- Shortcut: समान अंतर वाली संख्याओं का औसत = पहला और अंतिम का औसत।
- Replacement: Average Change × Total Persons = Total Difference
- Golden Concept: नया व्यक्ति पुराने Average से अधिक होगा तो Average बढ़ेगा।
- सबसे बड़ा Trap: Combined Average में दोनों Average को सीधे जोड़कर 2 से Divide नहीं करना।