📘 अंकगणित — घातांक एवं घात (Exponents and Powers)
UPSSSC PET के लिए Basic से Advanced तक Complete Notes | Rules | Formula | Tricks | Solved Questions | PYQ Pattern | Practice Set
📑 Table of Contents
1️⃣ Chapter Introduction
घात (Power) और घातांक (Exponent) गणित में किसी संख्या को बार-बार गुणा करने को संक्षिप्त रूप में लिखने की विधि है।
यहाँ 2 आधार (Base) और 4 घातांक (Exponent) है।
🎯 UPSSSC PET के लिए महत्व
- घातांक के नियम Simplification में बहुत उपयोगी हैं।
- बड़ी संख्याओं की गणना को छोटा और तेज बनाया जा सकता है।
- Square, Cube तथा Root से इसका सीधा संबंध है।
- प्रतिशत, संख्या पद्धति और सरलीकरण के कई प्रश्नों में घातों का प्रयोग होता है।
- प्रत्यक्ष Formula आधारित तथा Concept आधारित दोनों प्रकार के प्रश्न बनाए जा सकते हैं।
📚 इस Chapter में क्या सीखेंगे?
- Base और Exponent की पहचान
- घातांक के सभी प्रमुख नियम
- Zero और Negative Exponent
- Fractional Exponent
- Power of a Power
- Product और Quotient के Powers
- Square तथा Cube से संबंध
- Standard Form / Scientific Notation का Basic Concept
- Simplification और Exam Tricks
2️⃣ Basic Concepts
2.1 Base और Exponent क्या होते हैं?
किसी संख्या को जितनी बार स्वयं से गुणा किया जाता है, उतनी संख्या घातांक कहलाती है।
उदाहरण:
- 3² = 3 × 3 = 9
- 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
- 10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000
2.2 घातांक का अर्थ
यदि किसी संख्या की घात 4 है, तो इसका अर्थ उस संख्या को स्वयं से 4 बार गुणा करना है।
7⁴ = 7 × 7 × 7 × 7
2.3 Positive Exponent
जब घातांक धनात्मक हो, जैसे 2³, 5², 10⁴ आदि, तो सामान्य रूप से बार-बार गुणा किया जाता है।
2.4 Zero Exponent
उदाहरण:
5⁰ = 1, 100⁰ = 1, (−7)⁰ = 1
2.5 Negative Exponent
उदाहरण:
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
5⁻² = 1/5² = 1/25
2.6 Fractional Exponent
उदाहरण:
- 16^(1/2) = √16 = 4
- 27^(1/3) = ∛27 = 3
- 16^(3/2) = (√16)³ = 4³ = 64
3️⃣ Important Definitions
जिस संख्या पर घात लगाई जाती है, उसे Base कहते हैं।
Base की शक्ति बताने वाली संख्या को Exponent कहते हैं।
किसी संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा करना है, यह Power के रूप में व्यक्त किया जाता है।
किसी non-zero संख्या की शून्य घात का मान 1 होता है।
ऋणात्मक घात reciprocal अर्थात व्युत्क्रम को दर्शाती है।
भिन्नात्मक घात वह घात है जिसका exponent भिन्न के रूप में हो, जैसे 1/2, 2/3 आदि।
4️⃣ Important Rules & Concepts
Rule 1 — समान Base का गुणन
उदाहरण:
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
Rule 2 — समान Base का भाग
उदाहरण:
5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625
Rule 3 — Power की Power
उदाहरण:
(2³)⁴ = 2¹²
Rule 4 — Product की Power
उदाहरण:
(2 × 3)³ = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216
Rule 5 — Quotient की Power
उदाहरण:
(2/3)² = 4/9
Rule 6 — Zero Exponent
Rule 7 — Negative Exponent
Rule 8 — Exponent 1
Rule 9 — समान Base पहचानना
यदि दो संख्याओं को समान Base में लिखा जा सकता है, तो Exponent Rules लगाना आसान हो जाता है।
उदाहरण:
8 = 2³
64 = 2⁶
इसलिए 8² × 64 = 2⁶ × 2⁶ = 2¹²
Rule 10 — 1 की Power
Rule 11 — ऋणात्मक Base
यदि Base ऋणात्मक है:
- Even exponent → परिणाम धनात्मक
- Odd exponent → परिणाम ऋणात्मक
उदाहरण:
(−2)⁴ = 16
(−2)³ = −8
−2² = −(2²) = −4
(−2)² = +4
5️⃣ Complete Formula Section
उपयोग: किसी संख्या की Power को विस्तारित करने के लिए।
Example: 3⁴ = 3×3×3×3 = 81
Condition: Base समान होना चाहिए।
Condition: Base समान और denominator zero नहीं होना चाहिए।
उदाहरण: 10⁵ = 100000
उदाहरण: 10⁻³ = 1/1000 = 0.001
⚡ Tricks and Shortcut Methods
उदाहरण:
4³ × 2²
4 = 2²
इसलिए 4³ × 2² = 2⁶ × 2² = 2⁸ = 256
3⁸ ÷ 3⁵ = 3³ = 27
बड़ी संख्याओं को अलग-अलग calculate करने की जरूरत नहीं।
(5²)³ = 5⁶
पहले 25³ निकालने की जरूरत नहीं।
2⁻⁵ = 1/2⁵ = 1/32
| Power | Value |
|---|---|
| 2⁰ | 1 |
| 2¹ | 2 |
| 2² | 4 |
| 2³ | 8 |
| 2⁴ | 16 |
| 2⁵ | 32 |
| 2⁶ | 64 |
| 2⁷ | 128 |
| 2⁸ | 256 |
| 2⁹ | 512 |
| 2¹⁰ | 1024 |
10⁶ = 1,000,000
10⁻⁶ = 0.000001
Positive exponent में decimal दाईं ओर और negative exponent में decimal बाईं ओर जाने का विचार उपयोगी है।
यदि प्रश्न में (−2)ⁿ दिया है तो पहले n के even/odd होने से answer का sign तय करें। इससे कई Options तुरंत हट सकते हैं।
📝 Solved Examples — Basic to Advanced
प्रश्न 1. 2⁵ का मान क्या है?
2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32
Concept: Basic Power.
प्रश्न 2. 5⁰ का मान क्या होगा?
किसी non-zero संख्या की zero power = 1
अतः 5⁰ = 1
प्रश्न 3. 2³ × 2⁴ का मान क्या है?
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
अतः सही विकल्प B) 128 है।
Concept: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Shortcut: 3 + 4 = 7 → 2⁷ = 128
प्रश्न 4. 3⁷ ÷ 3⁴ का मान क्या है?
3⁷ ÷ 3⁴ = 3⁷⁻⁴ = 3³ = 27
Concept: Division Rule.
प्रश्न 5. (2³)² का मान क्या है?
(2³)² = 2³×² = 2⁶ = 64
Shortcut: 3 × 2 = 6
प्रश्न 6. 4³ × 8² को 2 की घात के रूप में लिखने पर क्या प्राप्त होगा?
4 = 2² और 8 = 2³
4³ × 8² = (2²)³ × (2³)²
= 2⁶ × 2⁶
= 2¹²
अतः दिए गए विकल्पों में सही उत्तर A) 2¹² है।
Concept: Same Base Conversion.
प्रश्न 7. 2⁻³ का मान क्या है?
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
Concept: Negative Exponent.
प्रश्न 8. यदि 2ˣ × 2³ = 2⁸, तो x का मान क्या है?
2ˣ × 2³ = 2ˣ⁺³
अतः x + 3 = 8
x = 5
प्रश्न 9. 16^(3/2) का मान क्या है?
16^(3/2) = (√16)³
= 4³
= 64
Concept: Fractional Exponent.
प्रश्न 10. यदि 3ˣ = 81, तो x का मान क्या है?
81 = 3⁴
इसलिए 3ˣ = 3⁴
अतः x = 4
🧠 Concept Based Questions
प्रश्न 1. निम्न में से कौन-सा कथन सही है?
समान Base के गुणन में Exponents जोड़े जाते हैं।
प्रश्न 2. निम्न में से किसका मान धनात्मक होगा?
(−4)⁴ में Base ऋणात्मक है लेकिन exponent सम है, इसलिए परिणाम धनात्मक होगा।
(−4)⁴ = 256
प्रश्न 3. 1/64 को 2 की घात के रूप में कैसे लिखा जा सकता है?
64 = 2⁶
इसलिए 1/64 = 1/2⁶ = 2⁻⁶
🔥 PYQ Pattern Based Important Questions
प्रश्न 1. यदि 5ˣ = 625, तो x का मान क्या होगा?
625 = 5⁴
अतः x = 4
Concept: Same Base Comparison.
प्रश्न 2. (3² × 3⁵) ÷ 3⁴ का मान क्या है?
3² × 3⁵ = 3⁷
3⁷ ÷ 3⁴ = 3³
अतः उत्तर = 27
प्रश्न 3. 27^(2/3) का मान क्या है?
27^(2/3) = (∛27)²
= 3²
= 9
🔴 Advanced Level Section
1. Multiple Concept Simplification
प्रश्न 1. सरल कीजिए: [(2³)² × 2⁻⁴] ÷ 2²
(2³)² = 2⁶
2⁶ × 2⁻⁴ = 2²
2² ÷ 2² = 2⁰
2⁰ = 1
Shortcut: Exponents पर सीधे काम करें:
(3×2) + (−4) − 2 = 6 − 4 − 2 = 0
2. Different Bases को Same Base में बदलना
प्रश्न 2. सरल कीजिए: 4³ × 2⁵ ÷ 8²
4 = 2² और 8 = 2³
4³ × 2⁵ ÷ 8²
= 2⁶ × 2⁵ ÷ 2⁶
= 2⁶⁺⁵⁻⁶
= 2⁵
अतः Options के अनुसार पुनः जाँच करें: सही उत्तर A) 2⁵ है।
3. Traditional Method vs Shortcut
📘 Traditional Method
पहले प्रत्येक Power का मान निकालें और फिर गुणा/भाग करें।
यह छोटी संख्याओं में उपयोगी है, लेकिन बड़ी Powers में समय अधिक लग सकता है।
⚡ Shortcut Method
सभी Bases को समान Base में बदलकर केवल Exponents पर Calculation करें।
यह बड़ी Powers में अधिक तेज है।
4. Trap Question
प्रश्न 3. निम्न में से सही कथन कौन-सा है?
Exponentiation सामान्यतः unary minus से पहले लागू होती है।
−2² = −(2²) = −4
जबकि (−2)² = +4
−aⁿ और (−a)ⁿ को समान न मानें।
📊 महत्वपूर्ण Powers — Quick Reference
| Base | Power | Value |
|---|---|---|
| 2 | 2⁰ | 1 |
| 2 | 2¹ | 2 |
| 2 | 2² | 4 |
| 2 | 2³ | 8 |
| 2 | 2⁴ | 16 |
| 2 | 2⁵ | 32 |
| 2 | 2⁶ | 64 |
| 2 | 2⁷ | 128 |
| 2 | 2⁸ | 256 |
| 3 | 3² | 9 |
| 3 | 3³ | 27 |
| 3 | 3⁴ | 81 |
| 3 | 3⁵ | 243 |
| 5 | 5² | 25 |
| 5 | 5³ | 125 |
| 10 | 10³ | 1,000 |
| 10 | 10⁶ | 1,000,000 |
⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं
✅ सही: समान Base के गुणन में Exponents को जोड़ते हैं।
✅ सही: Power की Power में Exponents को गुणा करते हैं।
✅ सही: a ≠ 0 के लिए a⁰ = 1।
✅ सही: a⁻ⁿ = 1/aⁿ। यह reciprocal है।
✅ सही: −2² = −4 जबकि (−2)² = +4।
✅ सही: पहले Bases को समान Base में बदलें, यदि संभव हो।
🎯 Practice Questions
🟢 BASIC LEVEL
1. 3⁴ का मान क्या है?
2. 7⁰ का मान क्या है?
🟡 MEDIUM LEVEL
3. 5³ × 5² का मान क्या है?
4. (3²)³ का मान क्या है?
🟠 HARD LEVEL
5. 2⁸ ÷ 2³ का मान क्या है?
6. 4² × 2³ को 2 की घात के रूप में लिखने पर क्या मिलेगा?
🔴 ADVANCED LEVEL
7. 2⁻² × 2⁵ का मान क्या है?
8. 81^(3/4) का मान क्या है?
9. यदि 2ˣ = 32, तो x का मान क्या है?
10. [(3²)³ × 3⁻²] ÷ 3³ का मान क्या है?
### Answer Key
### Detailed Solutions
अतः 4² × 2³ = 2⁴ × 2³ = 2⁷ → C
81^(3/4) = (3⁴)^(3/4) = 3³ = 27 → C
(3²)³ = 3⁶
3⁶ × 3⁻² = 3⁴
3⁴ ÷ 3³ = 3¹ = 3 → A
🚀 UPSSSC PET Exam Strategy — घातांक एवं घात
सबसे पहले देखें कि Bases समान हैं या उन्हें समान Base में बदला जा सकता है।
Multiplication में Exponents जोड़ें, Division में घटाएँ और Power की Power में गुणा करें।
Negative exponent हो तो reciprocal बनाएं।
−2² और (−2)² में अंतर को कभी न भूलें।
पहले समान Base में बदलें और Exponents पर काम करें।
सीधे नियम वाले प्रश्न बहुत कम समय में हल किए जा सकते हैं। लंबी calculation वाले प्रश्न बाद में करें।
Sign, Power और Approximate Size देखकर गलत विकल्प जल्दी हटाए जा सकते हैं।
⚡ Quick Revision
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
a⁰ = 1, a ≠ 0
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
Negative Base + Even Power = Positive
Negative Base + Odd Power = Negative
−2² = −4 लेकिन (−2)² = +4
Different Bases को पहले Same Base में बदलें।
🏆 FINAL REVISION BOX — घातांक एवं घात
- Golden Rule 1: समान Base के गुणन में Exponents जोड़ें।
- Golden Rule 2: समान Base के Division में Exponents घटाएँ।
- Golden Rule 3: Power की Power में Exponents को गुणा करें।
- Golden Rule 4: Negative Exponent का अर्थ Reciprocal है।
- Golden Rule 5: Non-zero संख्या की Zero Power = 1।
- Golden Rule 6: Fractional exponent को Root के रूप में बदलना सीखें।
- Top Formula: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- Top Formula: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- Top Formula: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- Top Formula: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- Top Formula: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)
- Top Trick: बड़ी Powers को सीधे calculate न करें; पहले Base समान करें।
- Most Important Trap: −aⁿ और (−a)ⁿ में अंतर याद रखें।
- Final Exam Mantra: Base पहचानें → Rule लगाएँ → Exponent simplify करें → Sign जाँचें → Answer verify करें।