साधारण अंकगणितीय समीकरण
UPSSSC PET अंकगणित के लिए Basic से Advanced तक Complete Notes — समीकरण की भाषा, नियम, स्थानांतरण, रैखिक समीकरण, भिन्न एवं दशमलव वाले समीकरण, अनुपात आधारित समीकरण, आयु/संख्या आधारित प्रश्न और परीक्षा उपयोगी Shortcuts.
📚 Chapter Contents
1️⃣ Chapter Introduction
समीकरण (Equation) वह गणितीय कथन है जिसमें दो राशियों को = चिन्ह द्वारा बराबर बताया जाता है और सामान्यतः एक या अधिक अज्ञात राशियों का मान ज्ञात करना होता है।
x + 5 = 12
यहाँ x अज्ञात राशि है और समीकरण का हल x = 7 है।
UPSSSC PET में इस प्रकार के प्रश्न सामान्यतः संख्या, आयु, अनुपात, प्रतिशत, लाभ-हानि, दैनिक गणना तथा शब्द-आधारित समस्याओं में छिपे हुए समीकरण के रूप में आ सकते हैं। इसलिए केवल समीकरण हल करना ही नहीं, बल्कि शब्दों को सही गणितीय समीकरण में बदलना भी महत्वपूर्ण है।
इस Chapter में क्या सीखेंगे?
- Variable, Constant, Coefficient और Term
- Equation और Identity में अंतर
- एक चर वाले सरल रैखिक समीकरण
- स्थानांतरण नियम
- ब्रैकेट वाले समीकरण
- भिन्न और दशमलव वाले समीकरण
- दोनों पक्षों में Variable वाले समीकरण
- अनुपात आधारित समीकरण
- संख्या, आयु और शब्द-आधारित समीकरण
- Equation बनाकर प्रश्न हल करने की विधि
- Advanced तथा Trap Questions
2️⃣ Basic Concepts
2.1 Variable क्या है?
जिस राशि का मान निश्चित न हो और जिसे किसी अक्षर से दर्शाया जाए, उसे Variable (चर) कहते हैं। सामान्यतः x, y, z, a, b आदि प्रयोग किए जाते हैं।
x + 8 = 15
यहाँ x Variable है।
2.2 Constant क्या है?
जिस संख्या का मान निश्चित हो, उसे Constant या अचर कहते हैं।
उदाहरण: 7, -4, 15, 100 आदि।
2.3 Coefficient क्या है?
किसी Variable के साथ गुणा होने वाली संख्या उसका Coefficient कहलाती है।
2.4 Term क्या है?
Expression का प्रत्येक अलग भाग, जो + या − से अलग होता है, Term कहलाता है।
2.5 Expression और Equation में अंतर
| Expression | Equation |
|---|---|
| 3x + 5 | 3x + 5 = 20 |
| इसमें = चिन्ह आवश्यक नहीं | इसमें = चिन्ह होता है |
| इसका कोई एक निश्चित हल आवश्यक नहीं | अज्ञात का मान ज्ञात किया जा सकता है |
2.6 Equation का मूल विचार
Equation को एक तराजू की तरह समझें। यदि दोनों तरफ बराबरी है तो किसी भी operation को दोनों पक्षों पर समान रूप से करना होगा।
दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:
x + 7 - 7 = 15 - 7
x = 8
2.7 उत्तर की जाँच
यदि x = 8 मिला, तो मूल equation में रखकर जाँच करें:
15 = 15 ✓
2.8 समीकरण बनाने की Basic भाषा
| प्रश्न की भाषा | गणितीय रूप |
|---|---|
| किसी संख्या में 5 जोड़ना | x + 5 |
| किसी संख्या में से 5 घटाना | x - 5 |
| किसी संख्या का 5 गुना | 5x |
| किसी संख्या का 5 से भाग | x/5 |
| किसी संख्या से 5 अधिक | x + 5 |
| किसी संख्या से 5 कम | x - 5 |
| किसी संख्या का दोगुना | 2x |
| किसी संख्या का आधा | x/2 |
3️⃣ Important Definitions
Equation
दो गणितीय expressions के बीच बराबरी दर्शाने वाला कथन समीकरण कहलाता है।
Variable
ऐसी राशि जिसका मान बदल सकता है और जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।
Constant
ऐसी संख्या जिसका मान निश्चित रहता है।
Coefficient
Variable के साथ गुणा होने वाली संख्या coefficient कहलाती है।
Linear Equation
ऐसा समीकरण जिसमें Variable की highest power 1 हो।
Solution / Root
Variable का वह मान जो equation को सत्य बनाता है।
Identity
ऐसा equation जो अपने निर्धारित domain में सभी मानों के लिए सत्य हो।
Transposition
किसी term को equation के दूसरे पक्ष में ले जाकर उसके operation को विपरीत करना।
4️⃣ Important Rules & Concepts
Rule 1: Addition और Subtraction
x - a = b ⇒ x = b + a
Rule 2: Multiplication और Division
x/a = b ⇒ x = ab, जहाँ a ≠ 0
Rule 3: दोनों पक्षों पर समान operation
यदि A = B, तो:
- A + c = B + c
- A - c = B - c
- A × c = B × c
- A ÷ c = B ÷ c, जहाँ c ≠ 0
Rule 4: Variable को एक तरफ रखें
5x - 2x = 18 - 3
3x = 15
x = 5
Rule 5: Bracket खोलना
a(b-c)=ab-ac
यदि bracket के बाहर negative sign हो:
-(a-b)=-a+b
Rule 6: Like Terms
समान Variable और समान power वाले terms को जोड़ा या घटाया जा सकता है।
9x - 4x = 5x
Rule 7: Fraction हटाने की विधि
यदि equation में denominators हैं, तो सभी denominators का LCM लेकर पूरे equation को LCM से गुणा कर सकते हैं।
दोनों पक्षों को 3 से गुणा:
x + 6 = 18
x = 12
Rule 8: Decimal Equation
दशमलव हटाने के लिए equation के सभी terms को उपयुक्त power of 10 से गुणा करें।
10 से गुणा ⇒ 2x + 10 = 30
2x=20 ⇒ x=10
Rule 9: विशेष स्थिति
| Equation का परिणाम | अर्थ |
|---|---|
| 0x = 5 | कोई solution नहीं |
| 0x = 0 | अनंत solutions |
| 3x = 12 | एक निश्चित solution: x = 4 |
Rule 10: Equation में sign बदलने की सही समझ
“Term दूसरी तरफ गया तो sign बदल गया” एक shortcut भाषा है। वास्तविक कारण यह है कि दोनों पक्षों पर opposite operation किया जाता है।
5️⃣ Complete Formula Section
x+a=b ⇒ x=b-a
उपयोग: जब variable के साथ कोई constant जुड़ा हो।
Example: x+9=17 ⇒ x=8
x-a=b ⇒ x=b+a
Example: x-7=13 ⇒ x=20
ax=b ⇒ x=b/a, a≠0
Example: 5x=35 ⇒ x=7
x/a=b ⇒ x=ab, a≠0
Example: x/4=9 ⇒ x=36
ax+b=cx+d
(a-c)x=d-b
अतः x=(d-b)/(a-c), जब a≠c.
Average = Sum/Number
अतः Sum = Average × Number
लगातार तीन पूर्णांक: x, x+1, x+2
लगातार चार पूर्णांक: x, x+1, x+2, x+3
x, x+2, x+4, x+6,...
x, x+2, x+4, x+6,...
जहाँ पहला term विषम है।
यदि वर्तमान आयु x है:
n वर्ष बाद = x+n
n वर्ष पहले = x-n
यदि A:B=m:n, तो
A=mk और B=nk
यदि a/b=c/d, तो cross multiplication से:
ad=bc, जहाँ denominators शून्य नहीं हैं।
किसी संख्या का p% = (p/100)x
Unknown quantity = x
Question की condition = Equation
Equation का solution = Required Answer
6️⃣ ⚡ Tricks and Shortcut Methods
Equation में variable के साथ + है तो − करें, − है तो + करें, × है तो ÷ करें और ÷ है तो × करें।
x+18=41 ⇒ x=41-18=23
7x+4=3x+24
सीधे 7x-3x=24-4
अर्थात 4x=20 ⇒ x=5
यदि 3(x+5)=24, पहले 3 से divide करें:
x+5=8 ⇒ x=3
x/4+x/6=10
LCM = 12; पूरी equation को 12 से गुणा करें:
3x+2x=120 ⇒ 5x=120 ⇒ x=24
यदि equation बहुत छोटी है और चार options दिए हैं, तो options को मूल equation में रखकर तेजी से उत्तर जाँचा जा सकता है।
जहाँ exact value की जरूरत नहीं और options बहुत अलग-अलग हों, estimation मदद कर सकता है। लेकिन exact-answer वाले प्रश्न में अनुमान को अंतिम उत्तर न मानें।
“दो संख्याओं का योग 50 है” ⇒ x+y=50
“अंतर 12 है” ⇒ x-y=12 (जब x बड़ी संख्या मानी गई हो)
7️⃣ 📝 Solved Examples
प्रश्न 1
यदि x+7=19, तो x का मान क्या है?
x+7=19
दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:
x=19-7=12
Concept: Addition का reverse operation subtraction है।
प्रश्न 2
यदि 4x=36, तो x क्या होगा?
दोनों पक्षों को 4 से divide करें:
x=36/4=9
प्रश्न 3
समीकरण 5x-8=27 में x का मान ज्ञात कीजिए।
5x=27+8=35
x=35/5=7
Shortcut: −8 को दूसरी तरफ ले जाने पर +8।
प्रश्न 4
यदि 3x+5=2x+17, तो x का मान क्या है?
3x-2x=17-5
x=12
प्रश्न 5
किसी संख्या में 15 जोड़ने पर 42 प्राप्त होता है। संख्या क्या है?
x+15=42
x=42-15=27
प्रश्न 6
समीकरण 3(x-4)+2=20 का हल क्या है?
3x-12+2=20
3x-10=20
3x=30
x=10
प्रश्न 7
यदि x/3+x/6=15, तो x का मान ज्ञात करें।
पूरी equation को 6 से गुणा करें:
2x+x=90
3x=90
x=30
प्रश्न 8
एक संख्या का 3 गुना उस संख्या से 18 अधिक है। संख्या क्या है?
3 गुना = 3x
Condition: 3x=x+18
2x=18
x=9
प्रश्न 9
किसी संख्या के 2/3 में 5 जोड़ने पर 17 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
(2/3)x+5=17
(2/3)x=12
x=12×3/2=18
प्रश्न 10
दो क्रमागत पूर्णांकों का योग 57 है। बड़ी संख्या क्या है?
बड़ी संख्या = x+1
x+(x+1)=57
2x+1=57
2x=56
x=28
बड़ी संख्या = 29।
प्रश्न 11
एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की 3 गुनी है। दोनों की आयु का योग 48 वर्ष है। पुत्र की आयु कितनी है?
पिता की आयु = 3x
x+3x=48
4x=48
x=12 वर्ष।
प्रश्न 12
एक संख्या का 40% उस संख्या के 25% से 30 अधिक है। संख्या क्या है?
40x/100 = 25x/100 + 30
15x/100=30
15x=3000
x=200।
8️⃣ 🔥 PYQ Pattern Based Important Questions
प्रश्न 1
यदि किसी संख्या में 8 जोड़ने पर प्राप्त संख्या मूल संख्या की दोगुनी हो जाती है, तो संख्या क्या है?
x=8।
Concept: मूल संख्या की दोगुनी = 2x।
प्रश्न 2
एक संख्या और उसके 3 गुने का योग 64 है। संख्या क्या है?
4x=64
x=16।
प्रश्न 3
किसी संख्या का आधा और 10 का योग 28 है। संख्या क्या है?
x/2=18
x=36।
प्रश्न 4
एक संख्या में से उसके 20% को घटाने पर 96 प्राप्त होता है। संख्या क्या है?
80x/100=96
0.8x=96
x=120।
9️⃣ 🎯 Practice Questions
🟢 BASIC LEVEL
Q1. x+13=25, तो x = ?
Q2. x-9=16, तो x = ?
Q3. 7x=56, तो x = ?
Q4. x/5=7, तो x = ?
🟡 MEDIUM LEVEL
Q5. 4x+7=31, तो x = ?
Q6. 6x-5=31, तो x = ?
Q7. 5x+3=2x+21, तो x = ?
Q8. 2(x+4)=20, तो x = ?
🟠 HARD LEVEL
Q9. 3(x-2)+5=20, तो x = ?
Q10. x/4+x/2=18, तो x = ?
Q11. किसी संख्या का 30% और 20% का अंतर 25 है। संख्या क्या है?
Q12. दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 64 है। छोटी संख्या क्या है?
🔴 ADVANCED LEVEL
Q13. किसी संख्या के 3/4 में 8 जोड़ने पर 35 प्राप्त होता है। संख्या क्या है?
Q14. एक पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी है। दोनों की आयु का योग 60 वर्ष है। पुत्र की आयु क्या है?
Q15. एक संख्या के 2/5 और 1/3 का योग 44 है। संख्या क्या है?
Q16. किसी संख्या का 60% उस संख्या के 40% से 36 अधिक है। संख्या क्या है?
### Answer Key
| Q | उत्तर | Q | उत्तर |
|---|---|---|---|
| 1 | C) 12 | 9 | B) 7 |
| 2 | C) 25 | 10 | C) 24 |
| 3 | C) 8 | 11 | C) 500 |
| 4 | B) 35 | 12 | B) 31 |
| 5 | B) 6 | 13 | C) 36 |
| 6 | C) 6 | 14 | A) 12 |
| 7 | B) 6 | 15 | B) 60 |
| 8 | B) 6 | 16 | C) 180 |
### Detailed Solutions
3x-6+5=20
3x=21
x=7।
LCM 4 से गुणा:
x+2x=72
3x=72 ⇒ x=24।
10x/100=25
x=250।
सुधार: दिए गए options में 250 नहीं है। इसलिए यह प्रश्न options के अनुसार उपयुक्त नहीं था। Correct exam-quality version होगा: “अंतर 50 है” तो उत्तर 500। इस कारण Q11 को corrected practice question माना जाए।
x+x+2=64
2x=62
x=31।
3x/4=27
3x=108
x=36।
x+4x=60
5x=60
x=12 वर्ष।
LCM = 15:
6x+5x=660
11x=660
x=60।
20x/100=36
x=180।
🔟 🧠 Concept Based Questions
Q1. समीकरण x+5=5+x किस प्रकार का कथन है?
Q2. 0x=7 का क्या अर्थ है?
Q3. यदि 3x=3y, तो क्या निष्कर्ष होगा?
1️⃣1️⃣ 🔴 Advanced Level Section
11.1 Bracket + Variable दोनों पक्ष
6x-8=4x+10
2x=18
x=9
11.2 Fraction + Variable
LCM 6:
3x+2x=150
5x=150
x=30
11.3 Multiple Conditions
कई शब्द-आधारित प्रश्नों में एक ही unknown लेकर दो या अधिक conditions बनानी पड़ सकती हैं। सबसे पहले उस quantity को x मानें जिसे सीधे पूछा गया है या जिसके आधार पर बाकी quantities सरलता से व्यक्त हो सकें।
11.4 Consecutive Numbers Trap
| संख्या का प्रकार | Representation |
|---|---|
| लगातार पूर्णांक | x, x+1, x+2 |
| लगातार विषम | x, x+2, x+4 |
| लगातार सम | x, x+2, x+4 |
| तीन का क्रमिक गुणज | 3x, 3x+3, 3x+6 |
11.5 Traditional Method vs Shortcut
| Traditional | Shortcut |
|---|---|
| हर step लिखकर equation balance करें। | Reverse operation से सीधे unknown isolate करें। |
| Fraction में LCM लगाएँ। | छोटे प्रश्नों में equivalent multiplication/division पहचानें। |
| अंत में substitution से जाँच। | Options में direct substitution से तेज verification। |
11.6 Special Case: No Solution
दोनों तरफ से 2x हटाएँ:
5=9 — असत्य।
अतः कोई solution नहीं।
11.7 Special Case: Infinite Solutions
3x+6=3x+6
यह सभी x के लिए सत्य है।
अतः अनंत solutions।
11.8 Advanced Word-Problem Framework
- पूछी गई quantity पहचानें।
- उसे x मानें।
- बाकी quantities को x के रूप में लिखें।
- Question की मुख्य condition से equation बनाएँ।
- Equation simplify करें।
- x निकालें।
- मूल condition में answer verify करें।
1️⃣2️⃣ ⚠️ विद्यार्थी अक्सर ये गलतियां करते हैं
❌ गलती 1: Sign बदलना भूल जाना
x-7=12 में −7 को हटाते समय +7 करना होगा।
✅ सही तरीका: दोनों पक्षों में 7 जोड़ें ⇒ x=19।
❌ गलती 2: Bracket में negative sign गलत लगाना
-(x-5)=-x+5, न कि -x-5।
❌ गलती 3: Fraction में केवल numerator को multiply करना
LCM लेने पर पूरी equation को LCM से गुणा करना चाहिए।
❌ गलती 4: Consecutive odd numbers को x और x+1 मानना
सही: x और x+2।
❌ गलती 5: “तीन गुना अधिक” को गलत interpret करना
Exam में भाषा को ध्यान से पढ़ें। “3 गुना” = 3x, जबकि “x से 3 अधिक” = x+3।
❌ गलती 6: Answer verify न करना
अंतिम value को मूल equation में रखकर जाँच करने से अधिकांश calculation/sign errors पकड़ी जा सकती हैं।
❌ गलती 7: 0 से divide करना
a/0 परिभाषित नहीं है। इसलिए किसी equation को 0 से divide नहीं किया जा सकता।
❌ गलती 8: Options देखकर बिना logic उत्तर चुनना
Option elimination तभी करें जब मूल equation/condition से verification संभव हो।
1️⃣3️⃣ 🚀 Exam Strategy
सरल one-step equations पहले करें।
दोनों पक्षों में variable वाले प्रश्न करें।
Fraction/decimal equations करें।
लंबे word problems करें।
Question पहचानने की Strategy
- यदि केवल एक operation है → बहुत तेज प्रश्न।
- यदि variable दोनों तरफ है → terms collect करें।
- यदि fraction है → LCM देखें।
- यदि bracket है → पहले simplify करें।
- यदि शब्दों में question है → पहले x define करें।
Time Management
- सरल equation पर अनावश्यक लंबी calculation न करें।
- एक प्रश्न में बार-बार approach बदलने से बचें।
- Options बहुत अलग हों तो option substitution उपयोगी हो सकती है।
- Negative marking की स्थिति में बिना verification के guess न करें।
1️⃣4️⃣ ⚡ Quick Revision
Equation में = चिन्ह होता है।
Variable = अज्ञात/बदलने वाली राशि।
+ ↔ −
× ↔ ÷
Variable की highest power 1।
ax+b=cx+d
LCM लेकर denominators हटाएँ।
a(b+c)=ab+ac
x,x+1,x+2
x,x+2,x+4
n years later = x+n
n years ago = x−n
A:B=m:n ⇒ A=mk,B=nk
0x=a, a≠0
0x=0
1️⃣5️⃣ 🏆 FINAL REVISION BOX
x+a=b ⇒ x=b-a
x-a=b ⇒ x=b+a
ax=b ⇒ x=b/a
x/a=b ⇒ x=ab
ax+b=cx+d ⇒ x=(d-b)/(a-c)
- Reverse operation से variable isolate करें।
- Variable को एक तरफ और constants को दूसरी तरफ रखें।
- Fraction में LCM का प्रयोग करें।
- छोटे प्रश्नों में options substitute करके verify करें।
- अंतिम answer को original equation में रखें।
- Equation का balance हमेशा बनाए रखें।
- एक पक्ष पर किया operation दूसरे पक्ष पर भी करें।
- Consecutive odd/even numbers का अंतर 2 होता है।
- Variable की coefficient को 0 करने से पहले division की validity जाँचें।
- 0 से division नहीं किया जाता।
- Word problem में सबसे पहले unknown quantity define करें।
- One-variable linear equation
- Variable दोनों पक्षों में
- Bracket equations
- Fraction equations
- Decimal equations
- Percentage-based equations
- Consecutive number equations
- Age-based equations
- Ratio-based equations
- No solution और infinite solutions
🎯 Chapter Master Formula
Read → Unknown तय करो → Equation बनाओ → Simplify करो → Solve करो → Verify करो
साधारण अंकगणितीय समीकरण में Accuracy + Logical Translation + Basic Algebraic Rules = तेज और सही समाधान।