वर्ग एवं वर्गमूल
UPSSSC PET अंकगणित — Basic से Advanced तक Complete Exam-Oriented Notes
📑 Chapter Contents
1️⃣ Chapter Introduction
वर्ग (Square) का अर्थ है किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करना। उदाहरण के लिए 7 का वर्ग 7 × 7 = 49 है।
वर्गमूल (Square Root) वह संख्या है जिसका वर्ग दी गई संख्या के बराबर हो। जैसे 49 का वर्गमूल 7 है, क्योंकि 7 × 7 = 49।
UPSSSC PET के लिए महत्व
- सरलीकरण में वर्ग एवं वर्गमूल का उपयोग होता है।
- संख्या पद्धति और बीजगणितीय प्रश्नों में इसकी आवश्यकता पड़ती है।
- वर्गों की पहचान से Calculation तेज होती है।
- Perfect Square और Non-Perfect Square आधारित प्रश्न पूछे जा सकते हैं।
- वर्गमूल के अनुमान, गुणनखंड और Long Division Method का उपयोग कठिन प्रश्नों में किया जा सकता है।
2️⃣ Basic Concepts
2.1 संख्या का वर्ग
किसी संख्या a का वर्ग:
उदाहरण:
- 5² = 5 × 5 = 25
- 9² = 9 × 9 = 81
- 15² = 15 × 15 = 225
2.2 वर्ग का अर्थ
यदि किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाए, तो प्राप्त संख्या उस संख्या का वर्ग कहलाती है।
यहाँ 13 को वर्ग की संख्या या base और 2 को exponent/power कहा जा सकता है।
2.3 वर्गमूल क्या है?
यदि:
तो N का धनात्मक वर्गमूल a होगा:
2.4 Perfect Square क्या है?
जो धनात्मक पूर्णांक किसी पूर्णांक के वर्ग के रूप में लिखा जा सके, उसे पूर्ण वर्ग (Perfect Square) कहते हैं।
उदाहरण:
- 64 = 8² → Perfect Square
- 121 = 11² → Perfect Square
- 144 = 12² → Perfect Square
- 50 किसी पूर्णांक का वर्ग नहीं है → Non-Perfect Square
2.5 1 से 30 तक महत्वपूर्ण वर्ग
| संख्या | वर्ग | संख्या | वर्ग |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 16 | 256 |
| 2 | 4 | 17 | 289 |
| 3 | 9 | 18 | 324 |
| 4 | 16 | 19 | 361 |
| 5 | 25 | 20 | 400 |
| 6 | 36 | 21 | 441 |
| 7 | 49 | 22 | 484 |
| 8 | 64 | 23 | 529 |
| 9 | 81 | 24 | 576 |
| 10 | 100 | 25 | 625 |
| 11 | 121 | 26 | 676 |
| 12 | 144 | 27 | 729 |
| 13 | 169 | 28 | 784 |
| 14 | 196 | 29 | 841 |
| 15 | 225 | 30 | 900 |
2.6 वर्गमूल और ± का संबंध
यदि x² = 49, तो x = 7 या x = −7 हो सकता है, क्योंकि:
2.7 ऋणात्मक संख्या का वर्ग
ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है।
3️⃣ Important Definitions
वर्ग (Square)
किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त परिणाम उस संख्या का वर्ग है।
वर्गमूल (Square Root)
वह संख्या जिसका वर्ग दी गई संख्या के बराबर हो, उसका वर्गमूल कहलाता है।
Perfect Square
वह संख्या जो किसी पूर्णांक के वर्ग के रूप में प्राप्त हो।
Non-Perfect Square
वह धनात्मक पूर्णांक जो किसी पूर्णांक का वर्ग न हो।
Principal Square Root
धनात्मक संख्या का मुख्य वर्गमूल सामान्यतः धनात्मक लिया जाता है। जैसे √81 = 9।
Square Number
किसी पूर्णांक के वर्ग से बनी संख्या, जैसे 16 = 4²।
4️⃣ Important Rules & Concepts
4.1 पहले n विषम संख्याओं का योग
उदाहरण: पहली 10 विषम संख्याओं का योग = 10² = 100।
4.2 लगातार वर्गों का अंतर
उदाहरण: 21² − 20² = 41।
4.3 दो क्रमागत पूर्ण वर्गों के बीच
n² और (n+1)² के बीच पूर्णांकों की संख्या:
उदाहरण: 10² और 11² के बीच 100 और 121 के बीच 20 पूर्णांक हैं।
4.4 Perfect Square की इकाई अंक पहचान
किसी Perfect Square का अंतिम अंक केवल:
हो सकता है।
4.5 Perfect Square के अंतिम दो अंक
यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 5 है और वह Perfect Square है, तो उसके अंतिम दो अंक 25 होंगे।
उदाहरण: 25, 225, 625, 1225 आदि।
4.6 Perfect Square में अभाज्य गुणनखंडों की शक्ति
किसी धनात्मक पूर्णांक के Prime Factorization में प्रत्येक prime की exponent सम (even) हो, तो संख्या Perfect Square होती है।
यहाँ 4 और 2 दोनों सम हैं, इसलिए 144 Perfect Square है।
यहाँ 2 की शक्ति 3 विषम है, इसलिए 72 Perfect Square नहीं है।
4.7 Square Root द्वारा Prime Factorization
यदि:
तो:
4.8 भिन्न का वर्गमूल
जहाँ वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में denominator और radicals की आवश्यक शर्तें पूरी हों।
उदाहरण:
4.9 दशमलव संख्या का वर्गमूल
यदि decimal संख्या Perfect Square decimal हो, तो दशमलव स्थानों का ध्यान रखें।
क्योंकि 0.9 × 0.9 = 0.81।
4.10 वर्गमूल का अनुमान
यदि संख्या Perfect Square नहीं है, तो उसे दो निकटतम Perfect Squares के बीच रखा जा सकता है।
इसलिए:
5️⃣ Complete Formula Section
उपयोग: किसी संख्या का Square निकालने में।
Example: 18² = 18 × 18 = 324
Example: 23² = (20+3)² = 400+120+9 = 529
Example: 97² = (100−3)² = 10000−600+9 = 9409
Example: 51²−49² = (51−49)(51+49) = 2×100 = 200
Example: 31²−30² = 61
Example: 1+3+5+7+9 = 25 = 5²
Prime factorization में प्रत्येक prime की exponent सम होनी चाहिए।
महत्वपूर्ण: क्योंकि principal square root non-negative होता है। उदाहरण: √((-7)²) = 7।
यह वास्तविक संख्याओं में a,b ≥ 0 के लिए लागू होता है।
वास्तविक संख्या के लिए उपयुक्त non-negative radicand और b ≠ 0 आवश्यक है।
जब a ≥ 0 हो।
Example: 8² < 70 < 9² ⇒ 8 < √70 < 9
अज्ञात या जटिल expressions को simplify करने में उपयोगी।
6️⃣ Tricks and Shortcut Methods
⚡ Trick 1 — 100 के पास की संख्या का Square
100 से कम संख्या के लिए:
उदाहरण: 97²
⚡ Trick 2 — 100 के पास ऊपर की संख्या
उदाहरण: 103²
⚡ Trick 3 — 50 के आसपास Square
यदि संख्या 50+a है:
उदाहरण: 53² = 2500 + 300 + 9 = 2809।
⚡ Trick 4 — 25 पर समाप्त होने वाली संख्या का Square
25, 75, 125 आदि जैसी संख्याओं के लिए सामान्य algebraic expansion उपयोग करें। उदाहरण:
⚡ Trick 5 — 5 पर समाप्त होने वाली संख्या का Square
यदि संख्या n5 के रूप में है, तो:
उदाहरण: 35² → 3×4 = 12 → 1225।
85² → 8×9 = 72 → 7225।
⚡ Trick 6 — 1 से 30 के Squares याद रखें
इन Squares की मदद से √N के आसपास का मान बहुत तेजी से पहचाना जा सकता है।
⚡ Trick 7 — Perfect Square की Last Digit Check
अंतिम अंक 2, 3, 7 या 8 हो तो सीधे Non-Perfect Square पहचान सकते हैं।
⚡ Trick 8 — वर्गमूल के लिए आसपास के Squares
√250 के लिए 15² = 225 और 16² = 256। इसलिए:
⚡ Trick 9 — Difference of Squares
यदि दो बड़ी संख्याओं के Squares का अंतर पूछा जाए तो अलग-अलग Square निकालने की जरूरत नहीं।
⚡ Trick 10 — Option Elimination
यदि √N के चार विकल्प दिए हों, तो पहले विकल्पों के Squares देखकर जांच करें।
7️⃣ Solved Examples
🟢 BASIC LEVEL
Concept: a² = a×a
🟡 MEDIUM LEVEL
= (49−47)(49+47) = 2×96 = 192।
🟠 HARD LEVEL
= 2×2000 = 4000।
🔴 ADVANCED LEVEL
=1000000−2000+1
=998001।
8️⃣ PYQ Pattern Based Important Questions
9️⃣ Practice Questions
🟢 BASIC PRACTICE
🟡 MEDIUM PRACTICE
🟠 HARD PRACTICE
🔴 ADVANCED PRACTICE
### Answer Key
| Q | Answer | Q | Answer |
|---|---|---|---|
| 1 | B | 9 | C |
| 2 | C | 10 | A |
| 3 | C | 11 | B |
| 4 | D | 12 | C |
| 5 | B | 13 | C |
| 6 | C | 14 | B |
| 7 | A | 15 | A |
| 8 | C | 16 | B |
### Detailed Solutions
🔟 Concept Based Questions
1️⃣1️⃣ Advanced Level Section
11.1 Perfect Square बनाने का Concept
यदि Prime Factorization में कोई prime विषम exponent के साथ है, तो Perfect Square बनाने के लिए उस prime की आवश्यक संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है।
72 को Perfect Square बनाने के लिए 2 से गुणा करें:
11.2 Perfect Square बनाने के लिए न्यूनतम गुणन
Prime factorization में जिन primes की powers odd हैं, उनके एक-एक factor से गुणा करने पर सभी powers even हो जाती हैं।
केवल 5 की power odd है, अतः 180×5=900=30²।
11.3 Perfect Square बनाने के लिए न्यूनतम भाग
यदि संख्या से ऐसे prime factors हटाए जाएँ जिनकी powers odd हैं, तो शेष संख्या Perfect Square बन सकती है।
11.4 Traditional Method बनाम Shortcut
Traditional Method
बड़ी संख्या का square सीधे multiplication से निकालना संभव है, लेकिन समय अधिक लग सकता है।
Shortcut Method
100, 50 या किसी convenient base के आसपास algebraic identity का उपयोग करें।
11.5 Trap Question — √49 और x²=49
√49 = 7
लेकिन x²=49 ⇒ x=±7
11.6 Trap Question — (−5)² और −5²
क्योंकि exponentiation में पहले 5² होता है और उसके बाद सामने का negative sign लागू होता है, जबकि parentheses में −5 पूरा base है।
11.7 Advanced Example
इसलिए x+5=0 ⇒ x=−5।
11.8 Advanced Example — निकटतम Perfect Square
11.9 Square Root का Approximation
यदि N, a² के पास है, तो √N का अनुमान निकटतम वर्ग के आधार पर लगाया जा सकता है। PET में सामान्यतः पहले bounding squares पहचानना पर्याप्त होता है।
इसलिए √420, 20 और 21 के बीच होगा।
1️⃣2️⃣ Common Mistakes
✅ सही तरीका: √49 का principal square root 7 है। लेकिन x²=49 में x=±7 होंगे।
✅ सही तरीका: (−8)×(−8)=64।
✅ सही तरीका: −8²=−64, जबकि (−8)²=64।
✅ सही तरीका: Perfect Square का अंतिम अंक 0,1,4,5,6 या 9 हो सकता है।
✅ सही तरीका: पहले Prime Factorization करें: 72=2³×3²।
✅ सही तरीका: वास्तविक a के लिए √(a²)=|a|।
✅ सही तरीका: (a±b)² में ±2ab term हमेशा ध्यान रखें।
1️⃣3️⃣ Exam Strategy
🚀 Step 1 — Squares पहचानें
1 से 30 तक Squares याद होने पर कई प्रश्न बिना calculation के हल होंगे।
🚀 Step 2 — Identity देखें
a²−b² दिखते ही (a−b)(a+b) लगाएँ।
🚀 Step 3 — Last Digit Check
Perfect Square पहचानने में पहले अंतिम अंक देखें।
🚀 Step 4 — Factorization
Perfect Square बनाने वाले प्रश्नों में Prime Factorization सबसे भरोसेमंद तरीका है।
कौन से प्रश्न पहले करें?
- Direct Square और Square Root।
- Perfect Square पहचान।
- Difference of Squares।
- Known identities वाले प्रश्न।
- Prime Factorization वाले कठिन प्रश्न अंत में करें।
Time Management
- Direct square/root प्रश्न पर अनावश्यक calculation न करें।
- बड़ी संख्या के square में 100 या 1000 के आसपास identity उपयोग करें।
- Options integer हों तो option-square comparison उपयोगी हो सकता है।
- बहुत लंबी calculation वाला प्रश्न mark करके आगे बढ़ें और बाद में वापस आएँ।
1️⃣4️⃣ Quick Revision
1️⃣5️⃣ 🏆 Final Revision Box
🌟 Golden Rules
- किसी संख्या का Square = संख्या × स्वयं।
- Principal √ हमेशा non-negative होता है।
- x²=a में a≥0 होने पर x=±√a।
- Perfect Square के prime factorization में सभी exponents even होते हैं।
- Perfect Square का अंतिम अंक केवल 0,1,4,5,6,9 हो सकता है।
🔥 Top Formulas
⚡ Top Tricks
- 100 के आसपास Square के लिए (100±a)² लगाएँ।
- 5 पर समाप्त होने वाली संख्या के लिए n(n+1) के बाद 25 लगाएँ।
- Difference of Squares में अलग-अलग Square न निकालें।
- √N के लिए पहले दो आसपास के Perfect Squares खोजें।
- Perfect Square check करने के लिए पहले last digit देखें।
🔥 PET Exam Final Checklist
- 1–30 तक Squares याद हैं?
- Perfect Square के possible last digits याद हैं?
- (a+b)² और (a−b)² याद हैं?
- a²−b² की identity याद है?
- √(a²)=|a| का concept स्पष्ट है?
- √49 और x²=49 का अंतर समझते हैं?
- Prime Factorization से Perfect Square बनाना आता है?
- 100 और 1000 के आसपास Square जल्दी निकाल सकते हैं?
📚 वर्ग एवं वर्गमूल Chapter Complete — Basic से Advanced Revision Ready