UPSSSC PET पूर्ण संख्या, भिन्न तथा दशमलव Notes | Formula, Tricks & Practice Questions

पूर्ण संख्या, भिन्न तथा दशमलव

UPSSSC PET अंकगणित Complete Notes — Beginner से Advanced Level तक Concepts, Rules, Formulas, Tricks, Solved Examples, PYQ Pattern Based Questions और Practice.

🟢 BASIC 🟡 MEDIUM 🟠 HARD 🔴 ADVANCED 📚 Exam Oriented

📑 Chapter Contents

1️⃣ Introduction 2️⃣ Basic Concepts 3️⃣ Definitions 4️⃣ Rules & Concepts 5️⃣ Formula Section ⚡ Tricks & Shortcuts 📝 Solved Examples 🔥 PYQ Pattern 🎯 Practice Questions 🧠 Concept Questions 🔴 Advanced Level ⚠️ Common Mistakes 🚀 Exam Strategy ⚡ Quick Revision 🏆 Final Revision Box

1️⃣ Chapter Introduction

पूर्ण संख्या, भिन्न तथा दशमलव अंकगणित के आधारभूत अध्याय हैं। प्रतिशत, अनुपात, औसत, लाभ-हानि, ब्याज, समय-कार्य तथा Data Interpretation जैसे कई अध्यायों में इनका प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष उपयोग होता है।

🔢 पूर्ण संख्या

0 तथा सभी धनात्मक गिनती की संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं: 0, 1, 2, 3, ...

➗ भिन्न

किसी पूर्ण वस्तु के एक या अधिक बराबर भागों को दर्शाने वाली संख्या, जैसे 3/5।

🔹 दशमलव

दशमलव बिंदु द्वारा पूर्ण भाग और भिन्नात्मक भाग को दर्शाने का तरीका, जैसे 12.75।

🔥 Exam Point: इस Chapter में सामान्यतः संख्या की पहचान, place value, operations, divisibility, fractions की तुलना/सरलीकरण, decimal conversion और arithmetic operations आधारित प्रश्न पूछे जा सकते हैं।

इस Chapter में आपको क्या सीखना है?

पूर्ण संख्या और उनके गुण
संख्या रेखा और क्रम
Face Value तथा Place Value
Even/Odd और Prime/Composite की मूल समझ
भिन्न के प्रकार
Equivalent और Simplest Form
भिन्नों की तुलना
भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा और भाग
दशमलव का स्थान-मूल्य
दशमलव को भिन्न तथा भिन्न को दशमलव में बदलना
Decimal operations
Recurring और terminating decimal की मूल समझ
Mixed problems और advanced traps

2️⃣ Basic Concepts

2.1 संख्या क्या है?

किसी वस्तु की मात्रा, क्रम या मान को व्यक्त करने के लिए जिन संकेतों का उपयोग किया जाता है, वे संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे 5, 25, 100 आदि।

2.2 पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

0 और सभी धनात्मक पूर्णांक मिलकर पूर्ण संख्याएँ बनाते हैं।

मुख्य तथ्य W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} पूर्ण संख्याओं का सबसे छोटा सदस्य 0 है। सबसे बड़ी पूर्ण संख्या नहीं होती।

✍️ याद रखें: Natural Numbers को सामान्यतः 1, 2, 3, ... से लिया जाता है, जबकि Whole Numbers में 0 भी शामिल होता है।

2.3 संख्या रेखा

संख्या रेखा पर सामान्यतः बाईं ओर छोटी और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं।

उदाहरण: 3 और 8 में 8 बड़ी संख्या है क्योंकि संख्या रेखा पर 8, 3 के दाईं ओर है।

2.4 पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती

पूर्ववर्ती (Predecessor): किसी संख्या से 1 कम।
उत्तरवर्ती (Successor): किसी संख्या से 1 अधिक।

Formula: Predecessor = n − 1 Successor = n + 1

उदाहरण: 500 का पूर्ववर्ती = 499 और उत्तरवर्ती = 501।

2.5 Face Value और Place Value

Concept	अर्थ	उदाहरण
Face Value	अंक का अपना वास्तविक मान	572 में 7 का Face Value = 7
Place Value	अंक के स्थान के अनुसार उसका मान	572 में 7 का Place Value = 70

⚡ Trick: Face Value में स्थान की परवाह नहीं होती। Place Value में स्थान सबसे महत्वपूर्ण होता है।

2.6 सम और विषम संख्या

जिस पूर्णांक को 2 से पूरा-पूरा विभाजित किया जा सके वह सम (Even) है। जो 2 से पूर्णतः विभाजित न हो, वह विषम (Odd) है।

Rule: Even → 2 से विभाज्यता शेष 0 Odd → 2 से भाग देने पर शेष 1

अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो तो संख्या सम होती है।

2.7 अभाज्य और भाज्य संख्या

अभाज्य संख्या (Prime): 1 से बड़ी ऐसी प्राकृतिक संख्या जिसके केवल दो धनात्मक भाजक हों—1 और स्वयं संख्या।

उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11, 13...

भाज्य संख्या (Composite): 1 से बड़ी ऐसी प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक धनात्मक भाजक हों।

उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10...

⚠️ Warning: 1 न तो Prime है और न Composite.

2.8 भिन्न का मूल रूप

भिन्न को सामान्यतः a/b के रूप में लिखा जाता है, जहाँ b ≠ 0।

a/b

a = अंश (Numerator)

b = हर (Denominator)

उदाहरण: 3/7 में 3 अंश और 7 हर है।

2.9 भिन्न के बराबर रूप

अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग करने पर भिन्न का मान नहीं बदलता।

a/b = (a×k)/(b×k), k ≠ 0

उदाहरण: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 20/30

2.10 दशमलव संख्या

दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाईं ओर पूर्णांक भाग और दाईं ओर दशमलव/भिन्नात्मक भाग होता है।

उदाहरण: 27.438 में 27 पूर्णांक भाग है तथा .438 दशमलव भाग है।

2.11 दशमलव स्थान-मूल्य

स्थान	मान
दशमांश (Tenths)	1/10 = 0.1
शतांश (Hundredths)	1/100 = 0.01
सहस्रांश (Thousandths)	1/1000 = 0.001

उदाहरण: 4.582 में 5 का मान 5/10 = 0.5, 8 का मान 8/100 = 0.08 और 2 का मान 2/1000 = 0.002 है।

3️⃣ Important Definitions

Natural Number

1, 2, 3, 4,... जैसी गिनती की संख्याएँ।

Whole Number

0 तथा सभी धनात्मक पूर्णांक।

Integer

ऋणात्मक पूर्णांक, 0 तथा धनात्मक पूर्णांक का समूह।

Numerator

भिन्न के ऊपर लिखा गया अंक—अंश।

Denominator

भिन्न के नीचे लिखा गया अंक—हर।

Proper Fraction

जिसमें अंश < हर हो। जैसे 3/7।

Improper Fraction

जिसमें अंश ≥ हर हो। जैसे 9/7।

Mixed Fraction

पूर्ण संख्या और proper fraction का संयुक्त रूप, जैसे 2 3/5।

Equivalent Fractions

ऐसी भिन्नें जिनका मान समान हो, जैसे 1/2 और 4/8।

Like Fractions

समान हर वाली भिन्नें। जैसे 3/11 और 7/11।

Unlike Fractions

अलग-अलग हर वाली भिन्नें। जैसे 2/3 और 3/5।

Decimal

दशमलव बिंदु द्वारा व्यक्त संख्या, जैसे 4.25।

Terminating Decimal

जिसका दशमलव विस्तार सीमित अंकों के बाद समाप्त हो जाए, जैसे 0.25।

Recurring Decimal

जिसमें कोई अंक/अंकों का समूह अनंत बार दोहरता है, जैसे 0.333...।

Lowest/Simplest Form

जब अंश और हर का HCF 1 हो।

4️⃣ Important Rules & Concepts

4.1 पूर्ण संख्याओं के गुण

क्रिया	Closure	Commutative	Associative
जोड़	हाँ	हाँ	हाँ
घटाव	नहीं	नहीं	नहीं
गुणा	हाँ	हाँ	हाँ
भाग	नहीं	नहीं	नहीं

📌 Note: पूर्ण संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने पर परिणाम फिर पूर्ण संख्या होता है। लेकिन घटाव या भाग में ऐसा आवश्यक नहीं है।

4.2 शून्य के महत्वपूर्ण नियम

a + 0 = a
a − 0 = a
a × 0 = 0
a × 1 = a
0 ÷ a = 0, जहाँ a ≠ 0
a ÷ 0 परिभाषित नहीं है।

⚠️ Exam Trap: 0/0 को सामान्य arithmetic में कोई निश्चित मान नहीं दिया जाता; इसे undefined form माना जाता है।

4.3 चिन्हों के नियम

क्रिया	नियम
गुणा/भाग	समान चिन्ह → + ; अलग चिन्ह → −
जोड़	समान चिन्ह → परिमाण जोड़ें, वही चिन्ह; अलग चिन्ह → परिमाण घटाएँ, बड़े परिमाण का चिन्ह

4.4 भिन्नों की तुलना

समान हर: जिसका अंश बड़ा, वह भिन्न बड़ी।

जैसे 5/9 > 2/9

समान अंश: जिसका हर छोटा, वह भिन्न बड़ी।

जैसे 3/5 > 3/8

अलग अंश और अलग हर: Cross Multiplication उपयोग करें।

a/b और c/d की तुलना → ad तथा bc की तुलना

यदि ad > bc, तो a/b > c/d।

4.5 भिन्नों का जोड़

समान हर वाली भिन्नों में केवल अंश जोड़े जाते हैं।

a/c + b/c = (a+b)/c

अलग हर होने पर LCM लेकर समान हर बनाते हैं।

4.6 भिन्नों का घटाव

a/c − b/c = (a−b)/c

4.7 भिन्नों का गुणा

a/b × c/d = ac/bd

⚡ Trick: गुणा करने से पहले Cross Cancellation करें। इससे बड़े अंकों की calculation आसान हो जाती है।

4.8 भिन्नों का भाग

a/b ÷ c/d = a/b × d/c

✍️ याद रखें: Fraction से भाग देने पर दूसरी fraction को उलटकर गुणा किया जाता है।

4.9 Mixed Fraction को Improper Fraction में बदलना

p q/r = (p×r + q)/r

उदाहरण: 3 2/5 = (3×5+2)/5 = 17/5

4.10 Improper Fraction को Mixed Fraction में बदलना

अंश को हर से भाग दें। Quotient पूर्णांक और Remainder नया अंश बनेगा।

17/5 = 3 शेष 2 = 3 2/5

4.11 Fraction की Simplification

अंश और हर को उनके HCF से भाग देने पर simplest form प्राप्त होती है।

Simplest Fraction = Numerator/HCF ÷ Denominator/HCF

4.12 दशमलव में जोड़ और घटाव

दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर calculation करें। आवश्यकता हो तो trailing zeros लगाएँ।

उदाहरण:
12.5 + 3.75 = 12.50 + 3.75 = 16.25

4.13 दशमलव का गुणा

पहले दशमलव हटाकर सामान्य गुणा करें। अंत में दोनों संख्याओं में कुल decimal places जितने हों, उतने स्थान बाईं ओर से दशमलव लगाएँ।

उदाहरण:
2.5 × 0.4 = 25 × 4 / 100 = 1.0 = 1

4.14 दशमलव का भाग

यदि divisor में decimal है, तो dividend और divisor दोनों को 10, 100, 1000 आदि से गुणा करके divisor को integer बनाया जा सकता है।

उदाहरण:
7.5 ÷ 0.5 = 75 ÷ 5 = 15

4.15 10, 100, 1000 से गुणा/भाग

×10 → decimal 1 स्थान दाईं ओर ×100 → decimal 2 स्थान दाईं ओर ÷10 → decimal 1 स्थान बाईं ओर ÷100 → decimal 2 स्थान बाईं ओर

4.16 Fraction से Decimal

अंश को हर से भाग दें।

1/2 = 0.5
1/4 = 0.25
3/4 = 0.75
1/5 = 0.2

4.17 Decimal से Fraction

दशमलव हटाकर denominator में 10, 100, 1000 आदि रखें और फिर simplify करें।

0.75 = 75/100 = 3/4
0.125 = 125/1000 = 1/8

4.18 Terminating Decimal का महत्वपूर्ण नियम

किसी rational fraction को lowest form में लाने के बाद यदि denominator में केवल 2 और/या 5 के prime factors हों, तो उसका decimal expansion terminating होगा।

Denominator = 2^m × 5ⁿ → Terminating Decimal

उदाहरण: 3/40, क्योंकि 40 = 2³ × 5, इसलिए इसका decimal terminating है।

उदाहरण: 1/3 का decimal 0.333... है, इसलिए यह non-terminating recurring decimal है।

4.19 Decimal में trailing zeros

दशमलव के अंत में लगाए गए zeros संख्या का मान नहीं बदलते।

0.5 = 0.50 = 0.500

4.20 संख्या में 0 जोड़ने का प्रभाव

किसी पूर्ण संख्या के दाईं ओर 0 लगाने से संख्या 10 गुना हो जाती है।

35 → 350 = 35 × 10
35 → 3500 = 35 × 100

5️⃣ Complete Formula Section

Formula 1: Predecessor n − 1

किसी संख्या से 1 कम।

उदाहरण: 100 का predecessor = 99

Formula 2: Successor n + 1

किसी संख्या से 1 अधिक।

उदाहरण: 100 का successor = 101

Formula 3: Fraction of a Number a/b × N = aN/b

जब किसी संख्या का कोई fractional part निकालना हो।

उदाहरण: 3/5 of 100 = 60

Formula 4: Addition of Fractions a/b + c/d = (ad+bc)/bd

अलग-अलग denominator वाली दो fractions के जोड़ में उपयोगी।

Formula 5: Subtraction of Fractions a/b − c/d = (ad−bc)/bd

Formula 6: Multiplication of Fractions a/b × c/d = ac/bd

Formula 7: Division of Fractions a/b ÷ c/d = ad/bc

जहाँ divisor fraction c/d का reciprocal d/c लिया जाता है।

Formula 8: Mixed → Improper p q/r = (pr+q)/r

Formula 9: Decimal Place Value Tenths = 1/10, Hundredths = 1/100, Thousandths = 1/1000

Formula 10: Decimal → Fraction 0.ab = ab/100

फिर fraction को simplest form में बदलें।

Formula 11: Percentage Connection Decimal × 100 = Percentage Percentage ÷ 100 = Decimal

Formula 12: Fraction → Percentage a/b × 100%

Formula 13: Terminating Decimal Test Lowest denominator = 2^m5ⁿ

तो decimal terminating होगा।

⚡ Tricks and Shortcut Methods

⚡ Trick 1: Fraction का comparison

अलग denominator होने पर decimal में बदलने के बजाय cross multiplication करें।

उदाहरण: 7/12 और 5/8 → 7×8=56, 5×12=60 → इसलिए 5/8 बड़ी।

⚡ Trick 2: 10, 100, 1000

Decimal को mentally shift करें।

4.375 × 100 = 437.5 और 4.375 ÷ 100 = 0.04375

⚡ Trick 3: 0.5 का अर्थ

0.5 = 1/2, इसलिए किसी संख्या का 0.5 गुना = उसका आधा।

86 × 0.5 = 43

⚡ Trick 4: 0.25 का अर्थ

0.25 = 1/4, इसलिए संख्या को 4 से divide करें।

240 × 0.25 = 60

⚡ Trick 5: 0.125 का अर्थ

0.125 = 1/8

320 × 0.125 = 320 ÷ 8 = 40

⚡ Trick 6: Fraction multiplication में cancellation

12/35 × 14/18 में पहले 12 और 18 को 6 से तथा 14 और 35 को 7 से cancel करें:

2/5 × 2/3 = 4/15

⚡ Trick 7: Common denominator

जब denominators छोटे हों, LCM जल्दी निकालें। जैसे 6, 8, 12 का LCM = 24।

⚡ Trick 8: Decimal comparison

दशमलव अंकों की संख्या बराबर करें।

0.7 = 0.70 और 0.68 = 0.68 → 0.70 > 0.68

⚡ Trick 9: Mixed fraction comparison

पहले whole parts की तुलना करें। Whole part अलग हो तो बड़ी whole part वाली fraction बड़ी होगी।

⚡ Trick 10: Fraction of a number

3/8 × 240 निकालने में पहले 240 ÷ 8 = 30, फिर ×3 = 90।

⚡ Trick 11: Decimal × 0.1

किसी संख्या को 0.1 से गुणा करना = 10 से भाग देना।

⚡ Trick 12: Option elimination

यदि exact calculation लंबी है, तो answer की approximate value निकालकर बहुत बड़े/छोटे options हटाएँ।

6️⃣ Solved Examples — Basic to Advanced

🟢 BASIC

प्रश्न 1. 725 का पूर्ववर्ती क्या है?

A) 724

B) 726

C) 723

D) 725

Correct Answer: A) 724

Predecessor = n − 1
= 725 − 1 = 724
Concept: Predecessor.

🟢 BASIC

प्रश्न 2. 3/5 का दशमलव रूप क्या है?

A) 0.3

B) 0.5

C) 0.6

D) 0.75

Correct Answer: C) 0.6

3 ÷ 5 = 0.6
अतः 3/5 = 0.6।

🟡 MEDIUM

प्रश्न 3. 2/3 + 5/6 का मान क्या है?

A) 7/9

B) 3/2

C) 4/3

D) 5/3

Correct Answer: B) 3/2

LCM(3,6)=6
2/3 = 4/6
4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2।
Shortcut: पहले denominator 6 बनाइए।

🟡 MEDIUM

प्रश्न 4. 7/8 − 1/3 का मान क्या है?

A) 13/24

B) 5/24

C) 11/24

D) 7/24

Correct Answer: A) 13/24

LCM(8,3)=24
7/8 = 21/24
1/3 = 8/24
Difference = 21−8 = 13/24।

🟡 MEDIUM

प्रश्न 5. 0.375 को simplest fraction में बदलें।

A) 3/8

B) 5/8

C) 3/5

D) 7/8

Correct Answer: A) 3/8

0.375 = 375/1000
HCF(375,1000)=125
= 375÷125 / 1000÷125
= 3/8।

🟠 HARD

प्रश्न 6. किसी संख्या का 3/7 भाग 45 है। संख्या क्या है?

A) 90

B) 95

C) 105

D) 120

Correct Answer: C) 105

मान लें संख्या = N
3N/7 = 45
N = 45×7/3 = 15×7 = 105।
Concept: Fraction of a number.

🟠 HARD

प्रश्न 7. 2 3/4 × 1 1/5 का मान क्या है?

A) 3

B) 33/10

C) 4

D) 27/10

Correct Answer: B) 33/10

2 3/4 = 11/4
1 1/5 = 6/5
Product = 11/4 × 6/5 = 66/20 = 33/10 = 3.3।

🟠 HARD

प्रश्न 8. 4.8 ÷ 0.12 का मान क्या है?

A) 4

B) 40

C) 400

D) 0.4

Correct Answer: B) 40

दोनों को 100 से गुणा करें:
4.8 ÷ 0.12 = 480 ÷ 12 = 40।

🔴 ADVANCED

प्रश्न 9. यदि x = 0.2 + 0.02 + 0.002, तो x का मान क्या है?

A) 0.222

B) 0.2022

C) 0.22

D) 2.22

Correct Answer: A) 0.222

0.200 + 0.020 + 0.002 = 0.222।
Concept: Decimal place alignment.

🔴 ADVANCED

प्रश्न 10. 1/(1/2 + 1/3) का मान क्या है?

A) 5/6

B) 6/5

C) 1/5

D) 5/3

Correct Answer: B) 6/5

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
अब इसका reciprocal = 6/5।
Trap: केवल denominators को जोड़ना गलत है।

7️⃣ PYQ Section — Pattern Based Important Questions

⚠️ महत्वपूर्ण: नीचे दिए गए प्रश्नों को वास्तविक UPSSSC PET Previous Year Questions के रूप में दावा नहीं किया जा रहा है। ये PYQ Pattern Based Important Questions हैं, जो इस Chapter में पूछे जाने वाले सामान्य परीक्षा-पैटर्न और अवधारणाओं के अभ्यास के लिए बनाए गए हैं।

🟡 PYQ PATTERN

प्रश्न 1. निम्न में से कौन-सी संख्या अभाज्य है?

A) 21

B) 27

C) 29

D) 35

Correct Answer: C) 29

29 के केवल 1 और 29 भाजक हैं। इसलिए 29 अभाज्य है।

🟡 PYQ PATTERN

प्रश्न 2. 5/6 − 1/4 का मान क्या है?

A) 7/12

B) 1/2

C) 2/3

D) 5/12

Correct Answer: A) 7/12

LCM = 12
5/6 = 10/12 और 1/4 = 3/12
Difference = 7/12।

🟠 PYQ PATTERN

प्रश्न 3. 0.0625 का simplest fractional form क्या है?

A) 1/8

B) 1/16

C) 1/32

D) 1/64

Correct Answer: B) 1/16

0.0625 = 625/10000
625 से divide करने पर = 1/16।

🟠 PYQ PATTERN

प्रश्न 4. यदि किसी संख्या का 5/8 भाग 75 है, तो संख्या क्या होगी?

A) 100

B) 110

C) 120

D) 125

Correct Answer: C) 120

5N/8 = 75
N = 75×8/5 = 15×8 = 120।

8️⃣ Practice Questions

🟢 BASIC LEVEL

Q1. 999 का successor क्या है?

A) 998

B) 1000

C) 1001

D) 999

Q2. 0.4 को fraction में लिखिए।

A) 1/2

B) 2/5

C) 3/5

D) 4/5

Q3. 3/7 में numerator क्या है?

A) 3

B) 7

C) 10

D) 1

Q4. 0.25 का fraction रूप क्या है?

A) 1/2

B) 1/3

C) 1/4

D) 3/4

🟡 MEDIUM LEVEL

Q5. 3/4 + 5/8 = ?

A) 9/8

B) 11/8

C) 13/8

D) 7/8

Q6. 7/9 × 27/14 = ?

A) 3/2

B) 2/3

C) 3/4

D) 1/2

Q7. 6.25 + 3.75 = ?

A) 9

B) 10

C) 10.5

D) 9.5

Q8. 2.4 ÷ 0.06 = ?

A) 4

B) 40

C) 400

D) 0.4

🟠 HARD LEVEL

Q9. 5/6 ÷ 10/9 = ?

A) 3/4

B) 2/3

C) 4/3

D) 5/9

Q10. 1.25 × 0.8 = ?

A) 0.1

B) 1

C) 10

D) 1.25

Q11. किसी संख्या का 7/12 भाग 84 है। संख्या क्या है?

A) 126

B) 132

C) 144

D) 156

Q12. 0.875 का simplest fraction क्या है?

A) 5/8

B) 7/8

C) 3/4

D) 9/10

🔴 ADVANCED LEVEL

Q13. यदि x = 1/2 + 1/3 + 1/6, तो x का मान क्या है?

A) 1

B) 5/6

C) 7/6

D) 2/3

Q14. 0.2 × 0.02 × 0.002 = ?

A) 0.000008

B) 0.00008

C) 0.008

D) 0.0008

Q15. यदि a = 3/4 और b = 5/6, तो b − a का मान क्या है?

A) 1/12

B) 1/6

C) 1/8

D) 1/4

Q16. निम्न में से किस fraction का decimal expansion terminating होगा?

A) 7/12

B) 5/18

C) 9/40

D) 11/21

### Answer Key

Q	Ans	Q	Ans
1	B	9	A
2	B	10	B
3	A	11	C
4	C	12	B
5	B	13	A
6	B	14	A
7	B	15	A
8	B	16	C

### Detailed Solutions

Q1: Successor = 999+1 = 1000 → B

Q2: 0.4 = 4/10 = 2/5 → B

Q3: 3/7 में ऊपर का अंक numerator है → 3 → A

Q4: 0.25 = 25/100 = 1/4 → C

Q5: 3/4 = 6/8; 6/8+5/8=11/8 → B

Q6: 7/9×27/14. Cancellation के बाद 1/2×3 = 3/2। इसलिए यहाँ दिए गए विकल्पों में A सही है।

Q7: 6.25+3.75=10.00 → B

Q8: 2.4÷0.06 = 240÷6 = 40 → B

Q9: 5/6×9/10 = 45/60 = 3/4 → A

Q10: 1.25×0.8 = 1.00 → B

Q11: 7N/12=84 ⇒ N=84×12/7=12×12=144 → C

Q12: 0.875=875/1000=7/8 → B

Q13: 1/2+1/3+1/6 = 3/6+2/6+1/6 = 6/6=1 → A

Q14: 0.2×0.02×0.002 = 2×2×2 / 10×100×1000 = 8/1,000,000 = 0.000008 → A

Q15: 5/6−3/4 = 10/12−9/12=1/12 → A

Q16: 9/40 lowest form में denominator 40=2³×5 है, इसलिए terminating decimal → C

Correction Note: Practice Q6 का सही उत्तर A) 3/2 है। गणना की दोबारा जाँच के आधार पर Answer Key को A माना जाना चाहिए। ऊपर की तालिका में भी Q6 के लिए A ही सही मानें।

9️⃣ Concept Based Questions

🟡 CONCEPT

Q1. 1 को Prime क्यों नहीं माना जाता?

A) क्योंकि वह विषम है

B) क्योंकि उसका केवल एक धनात्मक भाजक है

C) क्योंकि वह पूर्ण संख्या नहीं है

D) क्योंकि वह composite है

उत्तर: B

Prime संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होने चाहिए—1 और स्वयं। 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है।

🟡 CONCEPT

Q2. 3/5 और 6/10 में क्या संबंध है?

A) दोनों का मान अलग है

B) दोनों equivalent fractions हैं

C) पहली बड़ी है

D) दूसरी बड़ी है

उत्तर: B

3/5 को 2 से गुणा करने पर 6/10 मिलता है। इसलिए दोनों equivalent हैं।

🟠 CONCEPT

Q3. 7/12 का decimal terminating क्यों नहीं है?

A) क्योंकि numerator 7 है

B) क्योंकि denominator में 3 का factor है

C) क्योंकि 7 prime है

D) क्योंकि numerator denominator से छोटा है

उत्तर: B

12 = 2²×3। Lowest denominator में 3 का factor है, इसलिए decimal terminating नहीं होगा।

🟠 CONCEPT

Q4. 0.50 और 0.5 के बारे में सही कथन कौन-सा है?

A) 0.50 बड़ा है

B) 0.5 बड़ा है

C) दोनों बराबर हैं

D) तुलना संभव नहीं

उत्तर: C

Trailing zero दशमलव का मान नहीं बदलता। 0.50 = 0.5।

🔟 Advanced Level Section

10.1 Fraction और Decimal को एक साथ समझना

कठिन प्रश्नों में एक ही expression में fraction, decimal और integer को मिलाया जा सकता है। ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले सभी terms को एक ही form में बदलना सुविधाजनक होता है।

उदाहरण:
0.75 + 1/4 = 0.75 + 0.25 = 1

10.2 Nested Fraction

a/(b/c) = a × c/b

2/(3/4) = 2×4/3 = 8/3

10.3 Fraction का Fraction

यदि किसी संख्या के किसी fraction का फिर किसी fraction से भाग/गुणा पूछा जाए, तो fractions को गुणा करें।

उदाहरण: 3/5 का 2/3 = 3/5 × 2/3 = 2/5

10.4 Multiple Fraction Expression

1/2 + 1/3 − 1/6
= 3/6 + 2/6 − 1/6
= 4/6
= 2/3

10.5 Traditional Method vs Shortcut

स्थिति	Traditional	Fast Method
Fraction Comparison	Decimal में बदलना	Cross Multiplication
× 0.25	Decimal multiplication	÷ 4
× 0.125	Decimal multiplication	÷ 8
÷ 0.5	Long division	× 2
÷ 0.25	Long division	× 4

10.6 Trap Questions

⚠️ Trap 1: 1 को prime समझना गलत है।
⚠️ Trap 2: 0 को positive या negative मानना सामान्य arithmetic में गलत है; 0 neither positive nor negative है।
⚠️ Trap 3: a/0 को 0 मानना गलत है।
⚠️ Trap 4: 0.5 और 0.05 को समान मानना गलत है।
⚠️ Trap 5: Fraction जोड़ते समय numerator और denominator दोनों को सीधे जोड़ना गलत है।

10.7 Advanced Example

🔴 ADVANCED

यदि x = 2/3 और y = 0.25, तो x − y का मान क्या है?

A) 5/12

B) 7/12

C) 1/3

D) 1/4

Correct Answer: B) 5/12 नहीं; सही विकल्प A) 5/12 है।

0.25 = 1/4
2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12।
इसलिए A सही है।

10.8 Approximation Strategy

यदि options बहुत दूर-दूर हों, तो exact calculation के बजाय approximate calculation से answer पहचाना जा सकता है। लेकिन यदि options पास-पास हों तो exact calculation करें।

1️⃣1️⃣ Common Mistakes

❌ गलती 1: 1 को Prime मानना

सही तरीका: Prime के ठीक दो positive divisors होने चाहिए। 1 का केवल एक divisor है।

❌ गलती 2: Fraction जोड़ते समय denominator जोड़ देना

गलत: 1/2 + 1/3 = 2/5

सही: LCM लेकर 3/6+2/6=5/6

❌ गलती 3: Division में पहली fraction उलट देना

सही तरीका: जिस fraction से divide कर रहे हैं, उसी divisor fraction का reciprocal लें।

❌ गलती 4: Decimal points align न करना

जोड़ और घटाव में decimal points एक सीध में रखें।

❌ गलती 5: Trailing zero को value change समझना

0.7 = 0.70 = 0.700

❌ गलती 6: a/0 को 0 मानना

सही: a/0 परिभाषित नहीं है।

❌ गलती 7: 0.125 का अर्थ 1/5 समझना

सही: 0.125 = 1/8।

❌ गलती 8: Mixed fraction को गलत convert करना

2 3/5 = (2×5+3)/5 = 13/5, न कि 10/5।

1️⃣2️⃣ Exam Strategy

🚀 पहले कौन से प्रश्न करें?

Direct decimal conversion
Simple fraction operations
Face/Place Value
Basic number properties

⏱️ बाद में कौन से प्रश्न करें?

Nested fractions
Multiple operations
Long decimal calculations
Mixed concept problems

Question पहचानने की Strategy

पहले देखें कि question fraction, decimal या number property पर आधारित है।
जहाँ संभव हो fraction को simplest form में रखें।
Decimal addition/subtraction में decimal alignment करें।
Multiplication में cancellation करें।
Division by fraction में reciprocal याद रखें।
Options बहुत अलग हों तो approximation का उपयोग करें।
बहुत अधिक समय लेने वाले प्रश्न को mark करके आगे बढ़ें।

🔥 Exam Point: इस Chapter को केवल formulas से नहीं, बल्कि fraction-decimal conversion और calculation speed के साथ तैयार करें। यह कई दूसरे arithmetic chapters की foundation है।

1️⃣3️⃣ Quick Revision

Whole Numbers

0,1,2,3,...

Predecessor

n−1

Successor

n+1

Fraction

a/b, b≠0

Proper Fraction

Numerator < Denominator

Improper Fraction

Numerator ≥ Denominator

Multiplication

a/b × c/d = ac/bd

Division

a/b ÷ c/d = ad/bc

0.5

= 1/2

0.25

= 1/4

0.125

= 1/8

0.75

= 3/4

Decimal × 100

2 places right

Decimal ÷ 100

2 places left

Terminating Decimal

Lowest denominator = 2^m5ⁿ

Prime Number

Exactly 2 positive divisors

📌 Important Fraction Values:
1/2 = 0.5 = 50%
1/4 = 0.25 = 25%
3/4 = 0.75 = 75%
1/5 = 0.2 = 20%
1/8 = 0.125 = 12.5%
1/10 = 0.1 = 10%

🏆 FINAL REVISION BOX

🥇 Golden Rules

0 Whole Number है, लेकिन Natural Number की convention अलग-अलग पुस्तकों में मिल सकती है; प्रश्न के संदर्भ को देखें।
1 न Prime है न Composite।
Denominator कभी 0 नहीं हो सकता।
Fraction जोड़ने/घटाने में common denominator बनाना आवश्यक है।
Fraction division में divisor का reciprocal लिया जाता है।
Decimal addition/subtraction में decimal points align करें।
Trailing zeros decimal का मान नहीं बदलते।

🥇 Top Formulas

Predecessor = n−1
Successor = n+1
a/b + c/d = (ad+bc)/bd
a/b − c/d = (ad−bc)/bd
a/b × c/d = ac/bd
a/b ÷ c/d = ad/bc
Mixed → Improper = (Whole×Denominator + Numerator)/Denominator
Decimal → Fraction = Decimal हटाकर 10/100/1000... denominator

⚡ Top Tricks

×0.5 = ÷2
×0.25 = ÷4
×0.125 = ÷8
÷0.5 = ×2
÷0.25 = ×4
Fraction comparison = Cross Multiplication
10/100/1000 से multiplication/division में decimal shift करें
Multiplication से पहले cancellation करें

🔥 Most Important Concepts

Face Value और Place Value
Even/Odd
Prime/Composite
Proper/Improper/Mixed Fraction
Equivalent Fraction
Fraction comparison
Fraction operations
Fraction ↔ Decimal conversion
Terminating और recurring decimal
Decimal operations

✍️ अंतिम याद रखने योग्य बात: इस Chapter की अच्छी तैयारी का सबसे अच्छा तरीका है—पहले Number Concepts, फिर Fractions, फिर Decimal Conversion और अंत में Mixed Questions की timed practice करना।

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